PRIMERA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio A1. Discute la existencia de solucion del siguiente sistema en funcion del parametro $\alpha$: $$\begin{cases} \alpha x+4y+z=3 \\ \alpha x-5y+2z=-2 \\ 2x-y+3z=1 \end{cases}$$. Resuelve el sistema, si es posible. (a) (0,75 pts) cuando $\alpha=0$. (b) (0,75 pts) cuando $\alpha=-1$.

PRIMERA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio B1. Calcula el rango de la matriz $A$ dependiendo de los valores del parametro $m$: $$A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & m & m & 2 \\ m & -2 & m-2 & 1 \end{pmatrix}$$.

SEGUNDA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio A2. Se consideran las siguientes rectas: $r\equiv\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{1}$ y $$s\equiv\begin{cases} x=\lambda \\ y=-2+3\lambda \\ z=-1+\lambda \end{cases}$$. (a) (1 pt) Determina su posicion relativa. (b) (1,5 pts) Si dichas rectas se cortan, calcula el angulo minimo formado entre ambas. En caso de que no se corten, calcula la distancia entre ambas rectas.

SEGUNDA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio B2. Se consideran la recta y el plano siguientes: $$r\equiv\begin{cases} 2x-y+z=0 \\ x-y+4z=1 \end{cases}$$; $\pi\equiv 2x-3y+Az=10$. (a) (0,75 pts) Calcula el valor del parametro $A$ para que la recta $r$ y el plano $\pi$ sean paralelos. (b) (0,75 pts) Si $A=21$, calcula la interseccion del plano $\pi$ y la recta $r$. (c) (1 pt) Si $A=1$, calcula el punto simetrico del origen de coordenadas respecto del plano $\pi$.

TERCERA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio A3. Sea $f(x)=x^4+Ax^3+Bx+C$. Las rectas tangentes a la grafica de $f$ en los puntos de abscisa $x=-1$ y $x=2$ son paralelas. Ademas, $f$ tiene un extremo relativo cuando $x=1$ y $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)/x=-1$. (a) (1,5 pts) Encuentra los valores de los parametros $A,B$ y $C$. (b) (1 pt) Encuentra la ecuacion de la recta tangente a la grafica de $f$ en el punto de abscisa $x=-1$ para los valores de los parametros $A=-3,\ B=0$ y $C=4$.

TERCERA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio B3. Sea $f(x)=2xe^{-2x^2}$. (a) (1 pt) Encuentra los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$. (b) (1 pt) Encuentra los extremos relativos de $f$ y razona si son maximos o minimos. (c) (0,5 pts) Calcula las asintotas de $f$.

CUARTA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio A4. (2,5 pts) Calcula la siguiente integral, y explica el metodo empleado: $\displaystyle\int x\ln^2 x\,dx$.

CUARTA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio B4. Se consideran las curvas de ecuaciones $y=\dfrac{x^2}{3},\ y=x^2+2x$ y $y=3$. (a) (1,25 pts) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por dichas curvas. (b) (1,25 pts) Calcula el area de ese recinto.

QUINTA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio A5. Los resultados publicados en diciembre de 2.019 sobre la aplicacion de la vacuna M72 en Sudafrica, Kenia y Zambia revelaron que la probabilidad de quedar protegido contra la tuberculosis pulmonar activa es de 0,54. Se aplica la vacuna a un grupo de 3.289 adultos. (a) (0,5 pts) Identifica la distribucion correspondiente al numero de adultos que quedan protegidos, y determina sus parametros. (b) (1 pt) Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en 1.800 adultos. (c) (1 pt) Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en menos de 1.700 adultos.

QUINTA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio B5. Sean $A$ y $B$ sucesos aleatorios independientes, siendo sus probabilidades $P(A)=0{,}7$ y $P(B)=0{,}1$, y sean $\bar A$ y $\bar B$ los sucesos complementarios de $A$ y $B$ respectivamente. Calcula las siguientes probabilidades razonadamente, e indica claramente el proceso o ley aplicada: (a) (0,5 pts) $P(A\cup B)$. (b) (0,5 pts) $P(\bar A\cup\bar B)$. (c) (0,5 pts) $P(\bar A\cap\bar B)$. (d) (0,5 pts) $P(A\cap\bar B)$. (e) (0,5 pts) $P(\bar A|\bar B)$.