EJERCICIO OBLIGATORIO (2,5 puntos). Los estudios publicados en "Anales Espanoles de Pediatria" respecto a las curvas de desarrollo fetal de los recien nacidos en el Hospital de Cruces en 2.024 revelan que el peso de los 9.476 recien nacidos sigue una distribucion normal con media 3.372 g y desviacion tipica de 405 g. (a) (1 punto) Elegido al azar un recien nacido en el Hospital de Cruces en 2.024, calcula la probabilidad de que su peso haya sido superior a 3 kg. (b) (1 punto) Calcula el numero probable de recien nacidos en el Hospital de Cruces en 2.024 cuyo peso este en el rango comprendido entre 3 kg y 3,5 kg. (c) (0,5 puntos) Utilizando unicamente los resultados de los apartados anteriores, razona si es correcto afirmar que la cantidad de recien nacidos en el Hospital de Cruces en 2.024 con un peso en el rango comprendido entre 3,1 kg y 3,3 kg deberia estar entre 4.500 y 4.700.

SEGUNDO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a una de las opciones. (2A) Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} \alpha x - 2y + z = \alpha \\ x - 2y + \alpha z = \alpha \\ -2x + y + \alpha z = -2 \end{cases}$$. (a) (1 pt) Encuentra los valores del parametro $\alpha$ para los que el sistema tiene una unica solucion. (b) (0,75 pts) Hay algun valor del parametro $\alpha$ para el que el sistema no tiene solucion? Razona tu respuesta. (c) (0,75 pts) Hay algun valor del parametro $\alpha$ para el que el sistema tiene mas de una solucion? En caso afirmativo, calcula esos valores de $\alpha$ y, para cada uno de ellos, encuentra las soluciones distintas del sistema.

SEGUNDO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a una de las opciones. (2B) Sean $a$ y $b$ dos numeros reales y sea $$A=\begin{pmatrix} a+b & 2a \\ 2b & a+b \end{pmatrix}$$. (a) (0,75 puntos) Decide si existe la inversa de $A$ en funcion de los valores de los parametros $a$ y $b$. (b) (1,75 puntos) En el caso particular en que $a=-1$ y $b=2$, resuelve, si es posible, la ecuacion matricial $$AX-A^2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.

TERCER EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a una de las opciones. (3A) Se consideran las siguientes rectas: $$r_1\equiv\begin{cases} x-y-2z=0 \\ 2x-3y+z=1 \end{cases}$$ y $$r_2\equiv\begin{cases} x=3t \\ y=1-2t \\ z=2+t \end{cases}$$. Calcula la ecuacion del plano que pasa por $r_1$ y pasa por el punto de interseccion del plano $\pi\equiv x-y-2z=1$ con la recta $r_2$. (a) (1,5 pts) Calcula la posicion relativa de la recta $r$ con respecto a la recta $s$. (b) (1 punto) En caso de ser paralelas o cruzarse, calcula la distancia entre ambas. Si se cortan, calcula el punto de interseccion.

TERCER EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a una de las opciones. (3B) Se consideran la recta $r$ que pasa por los puntos $A(-4,4,1)$ y $B(3,0,-1)$ y la recta $s$ de ecuaciones $$s\equiv\begin{cases} x=2-\lambda \\ y=-2+3\lambda \\ z=2+t \end{cases}$$. (a) (1,5 pts) Calcula la ecuacion del plano que pasa por la recta $r$ y es paralelo a la recta $s$. (b) (1 pt) Calcula la distancia de la recta $s$ al plano hallado en el apartado anterior.

CUARTO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a una de las opciones. (4A) Se considera la funcion $f(x)=x^4+Ax^3+x^2+B$. (a) (1 pt) Calcula los valores de los parametros $A$ y $B$ para que las rectas tangentes a la grafica de $f$ en los puntos de abscisa $x=0$ y $x=1$ sean horizontales. (b) (1,5 pts) Con los valores de $A$ y $B$ que has obtenido en el apartado anterior, estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.

CUARTO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a una de las opciones. (4B) En la empresa "MARKOAK" fabrican marcos para cuadros. En esta ocasion les han solicitado marcos para 274 cuadros rectangulares. Todos los cuadros tienen las mismas dimensiones y una superficie de $0{,}3$ m$^2$. Para cada marco van a emplear dos tipos de material: las partes horizontales seran de un material cuyo coste es de $12$€/m y para las verticales utilizaran el material cuyo coste es de $10$€/m. La empresa que ha realizado el pedido quiere pagar lo minimo posible. Calcula: (a) (2 puntos) cuales deben ser las medidas de los cuadros para pagar el minimo posible. (b) (0,5 pts) a cuanto ascendera la factura.

QUINTO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a una de las opciones. (5A) Calcula las dos integrales siguientes: (a) (1,25 pts) $\displaystyle\int 2x\cos(2x+5)\,dx$. (b) (1,25 pts) $\displaystyle\int \dfrac{x+495}{x^2-2025}\,dx$.

QUINTO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a una de las opciones. (5B) Se consideran las curvas de ecuaciones $y=(x-1)^2,\ y=(x+1)^2$ y $y=7-3x$. (a) (1,25 pts) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por esas tres curvas. (b) (1,25 pts) Calcula el area del recinto del apartado anterior.