Dado el sistema $$\begin{cases} x+y+az=1 \\ x+ay+z=1 \\ ax+y+z=-2 \end{cases}$$, donde $a$ es un parámetro real, obtener razonadamente: a) Estudio del sistema en función del parámetro $a$ (5 puntos). b) Soluciones del sistema cuando $a=-2$ (3 puntos). c) Solución cuando $a=0$ (2 puntos).

Se dan la recta $$r: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z}{-1}$$ y los puntos $P=(1,0,0)$, $Q=(2,1,\alpha)$. Obtener: a) Valor de $\alpha$ para que la recta que pasa por $P$ y $Q$ sea paralela a $r$ (3 puntos). b) Ecuación del plano que contiene a $P$ y $Q$ y es paralelo a $r$, cuando $\alpha=1$ (3 puntos). c) Distancia de $Q$ al plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$, cuando $\alpha=1$ (4 puntos).

Dada $$f(x) = \dfrac{x^2+1}{x^2(x-1)}$$, obtener: a) Dominio y asíntotas (3 puntos). b) $$\int f(x)\,dx$$ y la primitiva cuya gráfica pasa por $(2,0)$ (3+1 puntos). c) Área de la región limitada por $y=f(x)$, $y=0$, $x=2$, $x=4$ (3 puntos).

Se dan $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ b & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ y $$B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & b & -1 \end{pmatrix}$$, que dependen del parámetro real $b$. Obtener: a) Valores de $b$ para que $AB$ y $BA$ tengan inversa (3 puntos). b) Valores de $b$ para que $A^TA$ tenga inversa (3 puntos). c) La inversa de $A^TA$ cuando existe (4 puntos).

Se dan el plano $\pi: 2x+y-z-5=0$ y los puntos $A(1,2,-1)$, $B(2,1,0)$. Obtener: a) Ecuación implícita del plano que pasa por $A$, $B$ y es perpendicular a $\pi$ (4 puntos). b) Ecuaciones paramétricas de $r$ perpendicular a $\pi$ por $A$, y dos planos cuya intersección sea $r$ (1+2 puntos). c) Distancia de $B$ a la recta $r$ (3 puntos).

En un triángulo isósceles, los dos lados iguales miden 10 cm cada uno. Obtener: a) Expresión $A(x)$ del área en función del tercer lado $x$ (4 puntos). b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en $0 \le x \le 20$ (4 puntos). c) Longitud $x$ para que el área sea máxima y dicha área (2 puntos).