Se da el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x + ay + 2z = 3 \\ x - 3y + az = -2 \\ x + y + 2z = a \end{cases}$$, donde $a$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Los valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible (4 puntos). b) La solución del sistema cuando $a=0$ (3 puntos). c) Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado (3 puntos).

Se dan los planos $\pi: x+y=1$ y $\pi': x-y+z=1$ y el punto $P(1,-1,0)$. Obtener razonadamente: a) Unas ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que pasa por $P$ y es paralela a $\pi$ y $\pi'$ (3 puntos). b) La distancia de la recta $r$ a cada uno de los planos $\pi$ y $\pi'$ (3 puntos). c) Las ecuaciones de la recta que pasa por $P$ y corta perpendicularmente a la recta intersección de $\pi$ y $\pi'$ (4 puntos).

Dada la función $$f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}$$, obtener razonadamente: a) El dominio y las asíntotas (3 puntos). b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y la representación gráfica (3+1 puntos). c) El valor de $\displaystyle\int_2^3 f(x)\,dx$ (3 puntos).

Sea $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$. Obtener: a) La justificación de que $A$ tiene inversa y su cálculo (3 puntos). b) Constantes $a,b$ de modo que $A^{-1} = A^2 + aA + bI$, usando que $A^3 - 3A^2 + 3A - I = 0$ (3 puntos). c) El valor de $\lambda$ para que $(A-\lambda I)X = 0$ tenga infinitas soluciones; para ese $\lambda$ hallar todas las soluciones (2+2 puntos).

Se dan las rectas $$r: \begin{cases} x=1 \\ y=2+\lambda \\ z=2\lambda \end{cases}$$, $$s: \dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z+2}{1}$$ y el plano $\pi: 3x + ay - z + 1 = 0$. Obtener: a) Si hay algún valor de $a$ para el cual $r$ está contenida en $\pi$ (4 puntos). b) La distancia entre $r$ y $s$ (3 puntos). c) El coseno del ángulo que forman $r$ y $$t: \begin{cases} 2x-y=0 \\ y-z=2 \end{cases}$$ (3 puntos).

Los vértices de un triángulo son $A(0,12)$, $B(-5,0)$ y $C(5,0)$. Se desea construir un rectángulo inscrito en el triángulo, de lados paralelos a los ejes coordenados, con dos vértices en $(-x,0)$ y $(x,0)$, siendo $0\le x\le 5$. Los otros dos vértices están en los segmentos $AB$ y $AC$. Obtener: a) La expresión $f(x)$ del área (4 puntos). b) El valor de $x$ para el cual el área es máxima y las dimensions del rectángulo (3 puntos). c) La proporción entre el área del rectángulo y la del triángulo (3 puntos).