Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2020

Se da el sistema de ecuaciones:
$$\begin{cases} x + ay + 2z = 3 \\ x - 3y + az = -2 \\ x + y + 2z = a \end{cases}$$
donde $a$ es un parámetro real.
a) Los valores del parámetro $a$ para los cuales el sistema es compatible. (4 puntos)
b) La solución del sistema cuando $a = 0$. (3 puntos)
c) Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado. (3 puntos)

Se dan los planos $\pi: x + y = 1$ y $\pi': x - y + z = 1$ y el punto $P(1, -1, 0)$.
a) Ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que pasa por $P$ y es paralela a los planos $\pi$ y $\pi'$. (3 puntos)
b) La distancia de la recta $r$ a cada uno de los planos $\pi$ y $\pi'$. (3 puntos)
c) Las ecuaciones de la recta que pasa por $P$ y corta perpendicularmente a la recta obtenida como intersección de los planos $\pi$ y $\pi'$. (4 puntos)

Dada la función $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$.
a) El dominio de definición y las asíntotas de la función $f$. (3 puntos)
b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la representación gráfica de la función. (3+1 puntos)
c) El valor de $\displaystyle\int_2^3 f(x)\,dx$. (3 puntos)

Sea $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$.
a) Justificación de que $A$ tiene inversa y cálculo de dicha matriz inversa. (3 puntos)
b) Dos constantes $a$, $b$ de modo que $A^{-1} = A^2 + aA + bI$. Se puede usar que $A$ verifica $A^3 - 3A^2 + 3A - I = 0$. (3 puntos)
c) El valor de $\lambda$ para que $(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ tenga infinitas soluciones. Para dicho valor hallar todas las soluciones. (2+2 puntos)

Se dan las rectas $$r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + \lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}$$, $s: \dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z+2}{1}$ y el plano $\pi: 3x + ay - z + 1 = 0$.
a) Si hay algún valor del parámetro $a$ para el cual la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$. (4 puntos)
b) La distancia entre las rectas $r$ y $s$. (3 puntos)
c) El coseno del ángulo que forman la recta $r$ y la recta $$t: \begin{cases} 2x - y = 0 \\ y - z = 2 \end{cases}$$. (3 puntos)

Los vértices de un triángulo son $A(0, 12)$, $B(-5, 0)$ y $C(5, 0)$. Se desea construir un rectángulo inscrito en el triángulo, de lados paralelos a los ejes coordenados y dos de cuyos vértices tienen coordenadas $(-x, 0)$, $(x, 0)$, siendo $0 \le x \le 5$. Los otros dos vértices están situados en los segmentos $AB$ y $AC$.
a) La expresión $f(x)$ del área del rectángulo anterior. (4 puntos)
b) El valor de $x$ para el cual dicha área es máxima y las dimensiones del rectángulo obtenido. (3 puntos)
c) La proporción entre el área del rectángulo anterior y el área del triángulo. (3 puntos)