Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2021

Se da el sistema de ecuaciones
$$\begin{cases} 2x - y + z = m \\ x + y + 3z = 0 \\ 5x - 4y + mz = m \end{cases}$$
donde $m$ es un parametro real. Se pide:
a) La discusion del sistema de ecuaciones en función del parametro $m$. (4 puntos)
b) La solución del sistema cuando $m = 1$. (3 puntos)
c) Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado. (3 puntos)

Se dan las rectas $$r: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ 2x - z - 1 = 0 \end{cases}$$, $s: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}$ y el plano $\pi: x + my + z = 2$ que depende del parametro real $m$. Obtened:
a) La posicion relativa de las rectas $r$ y $s$. (4 puntos)
b) El valor del parametro $m$ para que la recta $r$ este contenida en el plano $\pi$. (3 puntos)
c) Los puntos $A, B, C$ interseccion del plano $\pi$ con los ejes de coordenadas cuando $m = 2$, así como el volumen del tetraedro de vertices $A, B, C$ y $P(2,2,2)$. (3 puntos)

Dada la función $f(x) = x\,e^{1-x^2}$, calculad:
a) El dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. (4 puntos)
b) Las asintotas y la grafica de $f$. (3 puntos)
c) La integral $\int f(x)\,dx$. (3 puntos)

Se dan las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & a^2-2 & 3 \end{pmatrix}$$ y $$B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$. Obtened:
a) El rango de la matriz $A$ según los valores del parametro $a$. (3 puntos)
b) Una matriz $C$ tal que $AC = 16I$, siendo $I$ la matriz identidad, cuando $a = 0$. (4 puntos)
c) El rango de la matriz $B$ y la discusion de si el sistema $$B\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$ tiene solución. (3 puntos)

Dados los puntos $P(1,1,0)$, $Q(2,-1,1)$ y $R(\alpha, 3, -1)$ se pide:
a) La ecuacion del plano que contiene a $P$, $Q$ y $R$ cuando $\alpha = 1$ y la distancia de dicho plano al origen de coordenadas. (3 puntos)
b) La ecuacion de la recta $r$ que pasa por $R$ cuando $\alpha = 1$ y es paralela a la recta $s$ que pasa por $P$ y $Q$. Calculad la distancia entre las rectas $r$ y $s$. (4 puntos)
c) Los valores de $\alpha$ para los cuales $P$, $Q$ y $R$ estan alineados y la ecuacion de la recta que los contiene. (3 puntos)

Queremos disenar un campo de juego de modo que la parte central sea rectangular, y las partes laterales sean semicircunferencias hacia fuera. La superficie del campo mide $(4 + \pi)$ metros cuadrados. Se quieren pintar todas las rayas de dicho campo tal y como se observa en la figura. Se pide:
a) Escribid la longitud total de las rayas del campo en función de la altura $y$ del rectangulo. (5 puntos)
b) Calculad las dimensiones del campo para que la pintura usada sea minima. (5 puntos)