Se da el sistema $$\begin{cases} 2x-y+z = m \\ x+y+3z = 0 \\ 5x-4y+mz = m \end{cases}$$, donde $m$ es parámetro real. Se pide: a) Discusión en función de $m$ (4 puntos). b) Solución cuando $m=1$ (3 puntos). c) Soluciones cuando sea SCI (3 puntos).

Se dan las rectas $$r: \begin{cases} x+y-1=0 \\ 2x-z-1=0 \end{cases}$$, $$s: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z}{2}$$ y el plano $\pi: x+my+z = 2$. Obtener: a) Posición relativa de $r$ y $s$ (4 puntos). b) Valor de $m$ para $r \subset \pi$ (3 puntos). c) Puntos $A$, $B$, $C$ de intersección de $\pi$ con los ejes cuando $m=2$ y volumen del tetraedro $ABCP$ con $P(2,2,2)$ (3 puntos).

Dada $f(x) = x e^{1-x^2}$, calcular: a) Dominio, monotonía y extremos (4 puntos). b) Asíntotas y gráfica (3 puntos). c) $$\int f(x)\,dx$$ (3 puntos).

Se dan $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & a^2-2 & 3 \end{pmatrix}$$ y $$B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$. Obtener: a) Rango de $A$ según $a$ (3 puntos). b) Matriz $C$ tal que $AC = 16I$ cuando $a=0$ (4 puntos). c) Rango de $B$ y si el sistema $BX = (1,-1,2)^T$ tiene solución (3 puntos).

Dados $P(1,1,0)$, $Q(2,-1,1)$ y $R(\alpha, 3, -1)$: a) Plano por $P$, $Q$, $R$ con $\alpha=1$ y distancia al origen (3 puntos). b) Recta $r$ por $R(\alpha=1)$ paralela a $s$ (que pasa por $P$ y $Q$), y distancia entre $r$ y $s$ (4 puntos). c) Valores de $\alpha$ para que $P,Q,R$ sean colineales y recta que los contiene (3 puntos).

Se diseña un campo con parte central rectangular (base $x$, altura $y$) y dos semicírculos laterales (diámetro $y$). La superficie total mide $(4+\pi)$ m². Hay que pintar las rayas (contorno y separación central). a) Longitud total de las rayas en función de $y$ (5 puntos). b) Dimensiones para que la longitud sea mínima (5 puntos).