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Examen resuelto de Matemáticas II — Extraordinaria 2024

C. Valenciana8 problemas100% Resuelto
1
1
Álgebra
Matriz inversa y conmutación con matrices diagonales
2 puntos4 puntos4 puntos

Se considera la matriz A=(0k3k1312−1)A = \begin{pmatrix} 0 & k & 3 \\ k & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} donde kk es un número real.

a)
¿Para qué valores del parámetro kk la matriz AA es invertible?
(2 puntos)
b)
Para k=0k = 0, si existe, calcular la matriz inversa de AA.
(4 puntos)
c)
Para k=0k = 0, hallar las matrices diagonales DD que verifican AD=DAAD = DA.
(4 puntos)
2
2
Álgebra
Ecuación matricial A²X = B con parámetro
5 puntos5 puntos

Sean las matrices A=(102321a03)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ a & 0 & 3 \end{pmatrix} y B=(αβγ)B = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}.

a)
Estudiar los valores del parámetro real aa para los que la ecuación matricial A2X=BA^2 X = B tiene una única solución.
(5 puntos)
b)
Sabiendo que el vector (3−2−1)\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} es una solución de la ecuación A2X=BA^2 X = B, encontrar el valor de α,βα,β\alpha, \beta y γγ\gamma dependiendo del parámetro real aa.
(5 puntos)
3
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Geometría
Intersección de rectas y recta perpendicular a ambas
5 puntos5 puntos

Se dan las rectas r:x−11=y−21=z−12r: x−11=y−21=z−12\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2} y s:x−3−2=y−3−1=z+12s: x−3−2=y−3−1=z+12\frac{x-3}{-2} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+1}{2}.

a)
Comprobar que se cortan y calcular las coordenadas del punto PP de intersección.
(5 puntos)
b)
Determinar la ecuación de la recta que pasa por PP y es perpendicular a rr y a ss.
(5 puntos)
4
4
Geometría
Plano, distancia al origen y ángulo entre vectores
2 puntos3 puntos5 puntos

Sea el plano π:6x+4y−3z−d=0π:6x+4y−3z−d=0\pi: 6x + 4y - 3z - d = 0.

a)
Calcular los valores de dd para que la distancia del plano al origen sea una unidad.
(2 puntos)
b)
Calcular, en función del parámetro dd, las coordenadas de los puntos AA, BB y CC que resultan de intersectar el plano ππ\pi con los ejes de coordenadas XX, YY y ZZ, respectivamente.
(3 puntos)
c)
Para d≠0d ≠0\neq 0, calcular el ángulo formado por los vectores AB⃗AB⃗\vec{AB} y AC⃗AC⃗\vec{AC} determinados por los puntos del apartado anterior.
(5 puntos)
5
5
Análisis
Función con parámetro, mínimo relativo y área entre curvas
3 puntos2 puntos5 puntos

Se considera la función h(x)=ax+x2h(x) = ax + x^2, donde aa es un parámetro real.

a)
El valor de aa que hace que la gráfica de y=h(x)y = h(x) tenga un mínimo relativo en x=−34x = -34\dfrac{3}{4}.
(3 puntos)
b)
Para el valor de aa del apartado anterior, dibujar las curvas y=h(x)y = h(x) e y=h′(x)y = h'(x).
(2 puntos)
c)
Calcular el área del plano comprendida entre ambas curvas.
(5 puntos)
6
6
Análisis
Caja de cartón sin tapa de volumen máximo
8 puntos2 puntos

Se construye una caja de cartón sin tapa a partir de una hoja rectangular de 16 cm por 10 cm. Esto se hace recortando un cuadrado de longitud xx en cada esquina, doblando la hoja y levantando los cuatro laterales de la caja.

a)
Las dimensiones de la caja para que tenga el mayor volumen posible.
(8 puntos)
b)
Dicho volumen.
(2 puntos)
7
7
Probabilidad
Probabilidad total y teorema de Bayes — máquinas de latas
4 puntos3 puntos3 puntos

Una empresa tiene 3 máquinas de fabricación de latas de refresco. El 10,25% de las latas que fabrica la empresa son defectuosas. El 30% de las latas las fabrica la primera máquina, siendo el 10% defectuosas. El 25% de las latas las fabrica la segunda máquina, siendo el 5% defectuosas. El resto de las latas las fabrica la tercera máquina.

a)
¿Cuál es la probabilidad de que una lata fabricada por la tercera máquina sea defectuosa?
(4 puntos)
b)
Si se escoge una lata al azar y no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la primera máquina?
(3 puntos)
c)
Si se escoge una lata al azar y es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sido fabricada en la segunda máquina?
(3 puntos)
8
8
Probabilidad
Distribución binomial — emoticonos en WhatsApp
3 puntos3 puntos4 puntos

Se ha determinado que en el 60% de los mensajes enviados por WhatsApp se añade un emoticono. Una persona envía diez mensajes de WhatsApp.

a)
Probabilidad de que ningún mensaje de los diez tenga emoticonos.
(3 puntos)
b)
Probabilidad de que exactamente dos quintas partes de los mensajes tengan emoticonos.
(3 puntos)
c)
Probabilidad de que ocho o más mensajes tengan emoticonos.
(4 puntos)
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