Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2024

Se considera la matriz A = ((0, k, 3), (k, 1/3, 1), (2, -1, -1)) donde k es un numero real.
a) Para que valores del parametro k la matriz A es invertible? (2 puntos)
b) Para k = 0, si existe, calcular la matriz inversa de A. (4 puntos)
c) Para k = 0, hallar las matrices diagonales D que verifican AD = DA. (4 puntos)

Sean las matrices A = ((1, 0, 2), (3, 2, 1), (a, 0, 3)) y B = ((alpha), (beta), (gamma)). Se pide:
a) Estudiar los valores del parametro real a para los que la ecuacion matricial $A^{2}$ X = B tiene una unica solucion. (5 puntos)
b) Sabiendo que el vector (3, -2, -1)^T es una solucion de la ecuacion $A^{2}$ X = B, encontrar el valor de alpha, beta y gamma dependiendo del parametro real a. (5 puntos)

Se dan las rectas r: x-1 = y-2 = (z-1)/2 y s: (x-3)/(-2) = (y-3)/(-1) = (z+1)/2. Se pide:
a) Comprobar que se cortan y calcular las coordenadas del punto P de interseccion. (5 puntos)
b) Determinar la ecuacion de la recta que pasa por P y es perpendicular a r y a s. (5 puntos)

Sea el plano pi: 6x + 4y - 3z - d = 0. Se pide:
a) Calcular los valores de d para que la distancia del plano al origen sea una unidad. (2 puntos)
b) Calcular, en funcion del parametro d, las coordenadas de los puntos A, B y C que resultan de intersectar el plano pi con los ejes de coordenadas X, Y y Z, respectivamente. (3 puntos)
c) Para d distinto de 0, calcular el angulo formado por los vectores AB y AC determinados por los puntos del apartado anterior. (5 puntos)

Se considera la funcion h(x) = ax + x^2, donde a es un parametro real. Se pide:
a) El valor de a que hace que la grafica de la funcion y = h(x) tenga un minimo relativo en la abscisa x = -3/4. (3 puntos)
b) Para el valor a del apartado anterior, dibuja las curvas y = h(x) e y = h'(x). (2 puntos)
c) Calcula el area del plano comprendida entre ambas curvas. (5 puntos)

Se construye una caja de carton sin tapa a partir de una hoja rectangular de 16 cm por 10 cm. Esto se hace recortando un cuadrado de longitud x en cada esquina, doblando la hoja y levantando los cuatro laterales de la caja. Calcular:
a) Las dimensiones de la caja para que tenga el mayor volumen posible. (8 puntos)
b) Dicho volumen. (2 puntos)

Una empresa tiene 3 maquinas de fabricacion de latas de refresco. El 10.25% de las latas que fabrica la empresa son defectuosas. El 30% de las latas las fabrica en la primera maquina, siendo el 10% defectuosas. El 25% de las latas las fabrica en la segunda maquina, siendo el 5% defectuosas. El resto de las latas las fabrica en la tercera maquina.
a) Cual es la probabilidad de que una lata fabricada por la tercera maquina sea defectuosa? (4 puntos)
b) Si se escoge una lata al azar y no es defectuosa, cual es la probabilidad de que proceda de la primera maquina? (3 puntos)
c) Si se escoge una lata al azar y es defectuosa, cual es la probabilidad de que no haya sido fabricada en la segunda maquina? (3 puntos)

Se ha determinado que en el 60% de los mensajes enviados por WhatsApp se anade un emoticono. Una persona envia diez mensajes de WhatsApp. Se pide la probabilidad de que:
a) Ningun mensaje de los diez tenga emoticonos. (3 puntos)
b) Exactamente dos quintas partes de los mensajes tengan emoticonos. (3 puntos)
c) Ocho o mas mensajes tengan emoticonos. (4 puntos)
Los resultados han de expresarse en forma de fraccion o en forma decimal con cuatro decimales de aproximacion.