Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2025

La empresa TikiTak ha realizado un estudio del comportamiento de sus usuarios y ha observado que las 3/5 partes de sus publicaciones reciben un "Like". Juana es una usuaria de TikiTak. Se pide:
1.1 (0.75 puntos) Cual es la probabilidad de que Juana no reciba ningun "Like" si ha subido a la plataforma TikiTak cuatro publicaciones?
1.2 (0.75 puntos) Cual es la probabilidad de que Juana no reciba mas de dos "Likes" en sus cuatro publicaciones?
1.3 (1 punto) Juana desea que la probabilidad de recibir al menos un "Like" sea mayor que 0.999. Cual es el menor número de publicaciones que ha de subir para conseguirlo?

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2
2.1 Se dan las matrices A = ((-2, 1), (3, -2)), B = ((1, 2), (0, -1)) y C = ((3, -1), (-3, 3)).
Obtener:
2.1.1 (1.25 puntos) La matriz X solución de la ecuacion (A^(-1)X)^(-1) = A($B^{2}$ A)^(-1).
2.1.2 (0.5 puntos) El determinante de la matriz (3$A^{5}$ B)^2.
2.1.3 (0.75 puntos) Los valores de a y b, si existen, tales que a$B^{100}$ + b$B^{99}$ = A + C.
2.2 Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que dependen del parametro real a:
x - ay - z = -a
ax - y + z = a
ax + y = a
2.2.1 (1.25 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones en función de los valores del parametro a.
2.2.2 (1.25 puntos) Calcular el conjunto de soluciones del sistema para aquellos valores de a para los que el sistema es compatible determinado.

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2
3.1 Dados los planos pi_1: x + 2y + mz = -1, donde m es un parametro real, y pi_2: x + z = 6:
3.1.1 (0.5 puntos) Encontrar el valor de m, si existe, para el que pi_1 y pi_2 son perpendiculares.
3.1.2 (1.25 puntos) Encontrar el valor de m para el que pi_1 y pi_2 forman un angulo de 45 grados.
3.1.3 (0.75 puntos) Calcular la ecuacion parametrica de la recta interseccion de pi_1 y pi_2.
3.2 Dado el plano pi: 3x + y - z = 2 y los puntos P = (0,1,-1) y Q = (1,a,1), calcular:
3.2.1 (1.25 puntos) Los valores del parametro a, si existen, para los que la recta que pasa por P y Q esta contenida en el plano pi.
3.2.2 (1.25 puntos) Para a = 1, el punto simetrico de Q respecto del plano pi.

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2
4.1 Dada la función real de variable real f(x) = x/(x^2 + 1), se pide:
4.1.1 (0.5 puntos) Hallar el dominio, las asintotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f.
4.1.2 (1.5 puntos) Calcular, si existen, los valores maximos y minimos relativos y absolutos de la función f.
4.1.3 (0.5 puntos) Representar la función f.
4.2 Dadas las funciones reales de variable real f(x) = 1/x^2 y g(x) = 8x, se pide:
4.2.1 (0.5 puntos) Hallar el dominio, las asintotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f.
4.2.2 (0.25 puntos) Dibujar las graficas de ambas funciones.
4.2.3 (1.75 puntos) Calcular el area del recinto delimitado por el eje de abscisas, la recta x = 1 y las graficas de las dos funciones y = f(x) e y = g(x).