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Examen resuelto de Matemáticas II — Extraordinaria 2025

C. Valenciana4 preguntas · Opcionalidad100% Resuelto
1
1
Probabilidad
Distribución binomial: Likes en publicaciones TikiTak
1.1) 0,751.2) 0,751.3) 1
La empresa TikiTak ha realizado un estudio del comportamiento de sus usuarios y ha observado que las 3/5 partes de sus publicaciones reciben un "Like". Juana es una usuaria de TikiTak.
1.1)
¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba ningún "Like" si ha subido a la plataforma TikiTak cuatro publicaciones?
(0,75 ptos)
1.2)
¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba más de dos "Likes" en sus cuatro publicaciones?
(0,75 ptos)
1.3)
Juana desea que la probabilidad de recibir al menos un "Like" sea mayor que 0,999. ¿Cuál es el menor número de publicaciones que ha de subir para conseguirlo?
(1 pto)
2
2
Matrices y determinantes
Ecuación matricial, determinante y ecuación con potencias de matrices (Opción 2.1)
2.1.1) 1,252.1.2) 0,52.1.3) 0,75
Se dan las matrices A=(−231−2)A = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, B=(102−1)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} y C=(3−3−13)C = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
2.1.1)
La matriz XX solución de la ecuación (A−1X)−1=A(B2A)−1(A^{-1}X)^{-1} = A(B^2 A)^{-1}.
(1,25 ptos)
2.1.2)
El determinante de la matriz (3A⋅5B)2(3A ⋅5B)2\cdot 5B)^2.
(0,5 ptos)
2.1.3)
Los valores de aa y bb, si existen, tales que aB100+bB99=A+CaB^{100} + bB^{99} = A + C.
(0,75 ptos)
3
3
Sistemas de ecuaciones
Discusión y resolución de sistema con parámetro (Opción 2.2)
2.2.1) 1,252.2.2) 1,25
Se considera el sistema de ecuaciones lineales:{x−ay−z=−aax−y+z=aax+y=a\begin{cases} x - ay - z = -a \\ ax - y + z = a \\ ax + y = a \end{cases}
2.2.1)
Discutir el sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro aa.
(1,25 ptos)
2.2.2)
Calcular el conjunto de soluciones del sistema para aquellos valores de aa para los que el sistema es compatible determinado.
(1,25 ptos)
4
4
Rectas y planos
Ángulos entre planos y recta de intersección (Opción 3.1)
3.1.1) 0,53.1.2) 1,253.1.3) 0,75
Dados los planos π1:x+2y+mz=−1\pi_1: x + 2y + mz = -1, donde mm es un parámetro real, y π2:x+z=6\pi_2: x + z = 6.
3.1.1)
Encontrar el valor de mm, si existe, para el que π1\pi_1 y π2\pi_2 son perpendiculares.
(0,5 ptos)
3.1.2)
Encontrar el valor de mm para el que π1\pi_1 y π2\pi_2 forman un ángulo de 45 grados.
(1,25 ptos)
3.1.3)
Calcular la ecuación paramétrica de la recta intersección de π1\pi_1 y π2\pi_2.
(0,75 ptos)
5
5
Distancias y ángulos
Recta contenida en plano y punto simétrico respecto de un plano (Opción 3.2)
3.2.1) 1,253.2.2) 1,25
Dado el plano π:3x+y−z=2π:3x+y−z=2\pi: 3x + y - z = 2 y los puntos P=(0,1,−1)P = (0, 1, -1) y Q=(1,a,1)Q = (1, a, 1).
3.2.1)
Los valores del parámetro aa, si existen, para los que la recta que pasa por PP y QQ está contenida en el plano ππ\pi.
(1,25 ptos)
3.2.2)
Para a=1a = 1, el punto simétrico de QQ respecto del plano ππ\pi.
(1,25 ptos)
6
6
Estudio de función
Estudio completo de f(x) = x/(x² + 1) (Opción 4.1)
4.1.1) 0,54.1.2) 1,54.1.3) 0,5
Dada la función real de variable real f(x)=xx2+1f(x) = xx2+1\dfrac{x}{x^2 + 1}.
4.1.1)
Hallar el dominio, las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ff.
(0,5 ptos)
4.1.2)
Calcular, si existen, los valores máximos y mínimos relativos y absolutos de la función ff.
(1,5 ptos)
4.1.3)
Representar la función ff.
(0,5 ptos)
7
7
Integrales
Área entre f(x) = 1/x² y g(x) = 8x (Opción 4.2)
4.2.1) 0,54.2.2) 0,254.2.3) 1,75
Dadas las funciones reales de variable real f(x)=1x2f(x) = 1x2\dfrac{1}{x^2} y g(x)=8xg(x) = 8x.
4.2.1)
Hallar el dominio, las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ff.
(0,5 ptos)
4.2.2)
Dibujar las gráficas de ambas funciones.
(0,25 ptos)
4.2.3)
Calcular el área del recinto delimitado por el eje de abscisas, la recta x=1x = 1 y las gráficas de las dos funciones y=f(x)y = f(x) e y=g(x)y = g(x).
(1,75 ptos)
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