Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2025

Una pizzeria ofrece tres tipos de pizza: margarita, vegetariana y pepperoni. A lo largo de los anos, utilizando su aplicacion para telefonos inteligentes, el restaurante ha recopilado datos sobre las preferencias de los clientes, calculando que el 40% de sus clientes piden pizza margarita, el 25% elige la pizza vegetariana y el resto prefiere la pizza pepperoni.
1.1 (0.25 puntos) Si se elige un cliente al azar, cual es la probabilidad de que haya pedido una pizza pepperoni?
1.2 (0.75 puntos) Cual es la probabilidad de que dos clientes elegidos al azar hayan pedido distintos tipos de pizza?
1.3 (0.75 puntos) Cual es la probabilidad de que exactamente 4 de los 10 clientes pidan pizzas margarita?
1.4 (0.75 puntos) Cual es la probabilidad de que al menos uno de los 10 clientes del grupo pida una pizza margarita?

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2
2.1 En un sistema de procesamiento de imagenes se utiliza una matriz para transformar ciertos datos. La matriz depende del parametro real alpha y es:
A = [[1, alpha, 0], [0, alpha, 0], [0, 0, 1-alpha]].
2.1.1 (1.25 puntos) En uno de los procesos, para que el sistema funcione, se necesita que la matriz sea idempotente, es decir que su cuadrado coincida con ella, $A^{2}$ = A. Obtener los valores alpha que permitan funcionar a este proceso.
2.1.2 (1.25 puntos) En otro proceso diferente, se necesita utilizar la matriz inversa de A. Obtener los valores de alpha para los cuales existe la inversa y calcular esta inversa en función de alpha.
2.2 Sea el sistema de ecuaciones lineales:
3x - 2y - 3z = 0
2x + ay - 5z = -3
x + y + 2z = 3
donde a es un parametro real.
2.2.1 (1 punto) Discutir el sistema en función del parametro a.
2.2.2 (0.75 puntos) Calcular las soluciones del sistema cuando este sea compatible indeterminado.
2.2.3 (0.75 puntos) Calcular la solución del sistema para a = 0.

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2
3.1 Dada la recta r: {x=1+2lambda, y=lambda, z=2-lambda} y la recta s: {x=-1, x+2y+z=0}, calcular:
3.1.1 (1 punto) Si existen, las coordenadas del punto de corte de ambas rectas.
3.1.2 (1 punto) La ecuacion del plano que contiene a ambas rectas.
3.1.3 (0.5 puntos) La distancia del punto P=(1,0,2) a dicho plano.
3.2 Se consideran el plano pi: 3x - y + 2z = 4 y el punto P = (-1,0,1). Se pide:
3.2.1 (1 punto) La ecuacion del plano perpendicular a pi que pasa por P y por Q = (2,1,2).
3.2.2 (0.5 puntos) La distancia del punto Q al plano pi.
3.2.3 (1 punto) El punto simetrico de P respecto al plano pi.

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2
4.1 Una empresa de paqueteria quiere disenar distintos modelos de cajas. Uno de esos modelos consiste en una caja de 80 cm^3 de volumen, con base y tapa cuadradas. El precio del material de las paredes laterales es de 1 centimo por cm^2. La base y tapa se construiran con un material de calidad superior a las caras laterales de la caja, siendo este un 25% mas caro.
4.1.1 (0.75 puntos) La función P(x) que proporciona el precio del material de la caja en función del lado de la base x.
4.1.2 (1.25 puntos) Las dimensiones de la caja para que la función P(x) tenga el menor valor posible.
4.1.3 (0.5 puntos) El precio del material en el caso anterior.
4.2 Dada la función real de variable real f(x) = x|x-2|.
4.2.1 (1 punto) Representar la region comprendida entre la grafica de la función f, el eje de abscisas (eje OX) y las rectas x = -1 y x = 5.
4.2.2 (1.5 puntos) Calcular el area de la region anterior.