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Examen resuelto de Matemáticas II — Extraordinaria 2021

Andalucía8 problemas · 2 bloques100% Resuelto

Pregunta 1

2.5 puntos

Límites

Cálculo de parámetros en un límite con Taylor

Calcula a y b sabiendo que

\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{a(1-\cos x) + b\sin x - 2(e^x - 1)}{x^2} = 7

Pregunta 2

2.5 puntos

Derivadas aplicadas

Hallar parámetros con punto crítico dado

Halla

a > 0

b > 0

sabiendo que la gráfica de

f(x) = \dfrac{bx^2}{1 + ax^3}

tiene en el punto

(1, 2)

un punto crítico.

Pregunta 3

2.5 puntos

Estudio de función

Concavidad y puntos de inflexión de función integral

Considera la función

f(x) = 1 + \displaystyle\int_0^x te^t \, dt

. Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de

f

y sus puntos de inflexión.

Pregunta 4

2.5 puntos

Integrales

Primitiva de función racional con condición inicial

Considera

f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 1}

(para

x \neq \pm 1

). Halla una primitiva de

f

cuya gráfica pase por el punto

(2, 1)

Pregunta 5

2,5 puntos(1,25 + 1,25)

Matrices y ecuaciones matriciales

Propiedad A² = -A⁻¹ y ecuación matricial

Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}

.
a) Comprueba que

A^2 = -A^{-1}

.
b) Dadas

B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

, calcula la matriz

X

que verifica

A^2X + B = AC

Comprueba que

A^2 = -A^{-1}

(1.25 pts)

Calcula la matriz

X

que verifica

A^2X + B = AC

(1.25 pts)

Pregunta 6

2,5 puntos(1,25 + 1,25)

Sistemas de ecuaciones

Sistema de ecuaciones con parámetros (rutas de mensajería)

Una empresa de mensajería opera en tres rutas A, B y C. Semanalmente hace 70 viajes, y el número de viajes por B es igual a la suma de A y C.
a) Si

2(A+C) = 70

, ¿podemos deducir el número de viajes por cada ruta?
b) Si

2C = B - 5

, ¿cuántos viajes hace por cada ruta?

Si 2(A+C) = 70, ¿podemos deducir?

(1.25 pts)

Si 2C = B - 5, ¿cuántos viajes?

(1.25 pts)

Pregunta 7

2,5 puntos(1,5 + 1)

Geometría: rectas y planos

Ecuación de plano y simétrico de un punto

La recta perpendicular desde

A(1, 1, 0)

a un plano

\pi

corta a éste en

H\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)

.
a) Calcula la ecuación del plano

\pi

.
b) Halla la distancia de

A

a su simétrico respecto a

\pi

Ecuación del plano

\pi

(1.5 pts)

Distancia de

A

a su simétrico respecto a

\pi

(1 pt)

Pregunta 8

2,5 puntos(1,25 + 1,25)

Geometría: rectas en el espacio

Posición relativa de rectas y perpendicular común

Considera las rectas

r: \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -3 - \lambda \end{cases}

s: \begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \end{cases}

.
a) Estudia la posición relativa de

r

s

.
b) Halla la recta que corta perpendicularmente a

r

y a

s

Posición relativa de

r

s

(1.25 pts)

Recta perpendicular a ambas

(1.25 pts)

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