Sea f: R → R la función definida por f(x) = a + b·cos(x) + c·sen(x). Halla a, b y c sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa x = π/3 a la recta y = 1 como recta tangente, y que la recta y = x − 1 corta a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.

Sea la función f: R → R dada por f(x) = (x − 1/2)·e^{−x}. a) (1,5 puntos) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) (1 punto) Halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sean f, g: R → R las funciones definidas por f(x) = −x² + 7 y g(x) = |x² − 1|. a) (1 punto) Halla los puntos de intersección de las gráficas de f y g. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas. b) (1,5 puntos) Calcula el área de dicho recinto.

Halla ${\int }_0^{\pi }{x}^2\cdot cos(x)dx$$\int ₀^π x^2·cos(x) \, dx$.

Considera la matriz A = [[-1, 0],[0, 1]]. a) (1,25 puntos) Halla todas las matrices X que cumplen X·A = −A·X y X² = I, donde I es la matriz identidad de orden 2. b) (1,25 puntos) Halla todas las matrices Y que cumplen Y·A = A·Y, la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante −1.

Un proveedor de perfumerías vende a sus comerciantes tres tipos de perfumes A, B y C. En un primer pedido la tienda ha encargado 20 perfumes de tipo A, 30 de tipo B y 15 de tipo C, por un importe de 2200 euros. En un segundo pedido ha comprado 15 perfumes de tipo A, 10 de tipo B y 10 de tipo C, por un importe de 1250 euros. a) (1,25 puntos) ¿Cuánto tendremos que pagar por un pedido de 25 perfumes de tipo A, 10 perfumes de tipo B y 16 de tipo C? b) (1,25 puntos) Si añadimos que el precio de un perfume de tipo C es 2/5 del precio de una unidad de tipo A, ¿cuál es el precio de cada tipo de perfume?

Considera el plano π: x − 2y + z − 2 = 0 y la recta r: {x = 1 + 2λ, y = λ, z = λ}, λ ∈ R. a) (1 punto) Estudia la posición relativa de π y r. b) (1,5 puntos) Calcula la ecuación de la recta contenida en π que pasa por el punto P(2, −1, −2) y es perpendicular a r.

Considera los puntos A(4, 0, 0) y B(0, 2, 0). Calcula los puntos del plano OXZ que forman un triángulo equilátero con A y B.