Dada la función $$f(x)=\begin{cases} x^3+bx+2 & x\le 0 \\ \dfrac{\ln(x+1)}{ax} & x>0 \end{cases}$$, con $a,b\in\mathbb{R}$, $a,b\neq 0$.
a) (1 pto) Determine los valores de $a, b$ para que $f$ sea continua en $\mathbb{R}$.
b) (1 pto) Calcule aquellos valores que además hacen que $f$ tenga un extremo relativo en $x=-1$, y determine el tipo de extremo que es.

Calcule el valor de $a\in\mathbb{R}$ ($a\neq 0$) para que se verifique el siguiente límite: $\displaystyle\lim_{x\to 0}(1-\operatorname{sen}^2 x)^{a/x^2}=2$.

Calcule $\displaystyle\int\dfrac{x^2-1}{x^3-3x+2}\,dx$.

Para la función $f(x)=\dfrac{2x^3-x^2}{x^2-x-2}$:
a) (1,2 pto) Estudie dominio de definición, asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
b) (0,8 pto) Calcule la recta tangente a la curva en el punto $x=1$.

Dada la matriz $$A=\begin{pmatrix}0 & 0 & -2\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 3\end{pmatrix}$$:
a) (1,25 pto) Estudie el rango de $A-kI$ según los valores de $k\in\mathbb{R}$.
b) (0,75 pto) Calcule la inversa de $A-kI$ cuando $k=0$.

a) (1 pto) Sabiendo que $$\begin{vmatrix}a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix}=5$$, calcule justificadamente $$\begin{vmatrix}2d & 2e+2f & 2f\\ -g & -h-i & -i\\ a & b+c & c\end{vmatrix}$$.
b) (1 pto) Dada $$A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 2 & 2 & 2\\ 2 & 0 & 0\end{pmatrix}$$, resuelva $$(A-\tfrac{1}{2}A^T)X = \begin{pmatrix}0\\9\\5\end{pmatrix}$$.

a) (1 pto) Resuelva el sistema matricial $$\begin{cases} 2X+3Y=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 3 & 7\end{pmatrix} \\ 3X-2Y=\begin{pmatrix}5 & 3\\ -2 & 4\end{pmatrix} \end{cases}$$.
b) (1 pto) Calcule $$\begin{pmatrix}2 & 0\\ -1 & 1\end{pmatrix}^n$$, $n\in\mathbb{N}$.

Calcule la ecuación implícita de la recta (como intersección de dos planos) que pasa por el punto $A=(0,1,1)$ y es paralela a los planos $\pi_1$ que contiene los puntos $B_1=(-1,0,2)$, $B_2=(1,3,1)$, $B_3=(2,-1,0)$ y $\pi_2\equiv x+2z=1$.

Sean $\vec u_1=(-1,1,1)$, $\vec u_2=(0,3,1)$, $\vec u_3=(1,-2,0)$, $\vec u_4=(-2,0,1)$.
a) (1 pto) Compruebe si los vectores $\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo $\vec v_1=2\vec u_1-\vec u_2$, $\vec v_2=\vec u_2+\vec u_3$, $\vec v_3=\vec u_4$.
b) (1 pto) Calcule $(2\vec u_1-\vec u_2)\cdot(2\vec u_1-\vec u_2)$ y $(\vec u_4-\vec u_1)\times(\vec u_4-\vec u_1)$, siendo $\cdot$ y $\times$ los productos escalar y vectorial.

La cantidad de hierro en suero de una mujer adulta sigue una distribución normal de media 120 μg/dl y desviación típica 30 μg/dl. Se considera que una mujer tiene un tipo de anemia por falta de hierro si su cantidad no llega a 75 μg/dl.
a) (1 pto) ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer adulta tenga anemia por falta de hierro?
b) (1 pto) El 45% de las mujeres adultas tienen una cantidad de hierro en suero superior a $k$. Averigüe el valor de $k$.