Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2021

Dada la siguiente función $$f(x) = \begin{cases} x^3 + bx + 2 & x \le 0 \\ \dfrac{\ln(x+1)}{ax} & x > 0 \end{cases}, \quad a,b \in \mathbb{R},\ a,b \neq 0$$

a) (1 punto) Determine los valores de $a, b \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$.

b) (1 punto) Calcule aquellos valores que además hacen que la función $f(x)$ tenga un extremo relativo en el punto $x = -1$, y determine el tipo de extremo que es.

Calcule el valor de $a \in \mathbb{R}$ ($a \neq 0$) para que se verifique el siguiente límite $$\lim_{x\to 0}\left(1 - \operatorname{sen}^2(x)\right)^{\frac{a}{x^2}} = 2.$$

Calcule $$\int \frac{x^2 - 1}{x^3 - 3x + 2}\,dx.$$

Para la siguiente función $$f(x) = \frac{2x^3 - x^2}{x^2 - x - 2}$$

a) (1,2 puntos) Estudie el dominio de definición y calcule las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas caso de existir.

b) (0,8 puntos) Calcule la recta tangente a la curva en el punto $x = 1$.

Dada la siguiente matriz: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

a) (1,25 puntos) Estudie el rango de la matriz $A - kI$ según los valores de $k \in \mathbb{R}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

b) (0,75 puntos) Calcule la inversa de $A - kI$ para $k = 0$.

a) (1 punto) Sabiendo que $$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 5$$, calcule justificadamente $$\begin{vmatrix} 2d & 2e+2f & 2f \\ -g & -h-i & -i \\ a & b+c & c \end{vmatrix}$$.

b) (1 punto) Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$, resuelva el sistema $$\left(A - \frac{1}{2}A^T\right)\cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 5 \end{pmatrix}$$, donde $A^T$ es la matriz traspuesta de $A$.

a) (1 punto) Resuelva el siguiente sistema matricial $$\begin{cases} 2X + 3Y = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \\[6pt] 3X - 2Y = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \end{cases}$$

b) (1 punto) Calcule $$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^n$$, $n \in \mathbb{N}$.

Calcule la ecuación implícita de la recta (como intersección de dos planos) que pasa por el punto $A = (0,1,1)$ y es paralela a los planos: $\pi_1$ que contiene los puntos $B_1, B_2, B_3$, y $\pi_2 \equiv x + 2z = 1$, siendo: $$B_1 = (-1,0,2),\quad B_2 = (1,3,1),\quad B_3 = (2,-1,0).$$

Sean los siguientes vectores: $$\vec{u}_1 = (-1,1,1),\quad \vec{u}_2 = (0,3,1),\quad \vec{u}_3 = (1,-2,0),\quad \vec{u}_4 = (-2,0,1)$$

a) (1 punto) Compruebe si los vectores $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo: $\vec{v}_1 = 2\vec{u}_1 - \vec{u}_2,\ \vec{v}_2 = \vec{u}_1 + \vec{u}_3,\ \vec{v}_3 = \vec{u}_4$.

b) (1 punto) Calcule las siguientes expresiones: $(2\vec{u}_1 - \vec{u}_2) \cdot (2\vec{u}_1 - \vec{u}_2)$, $(\vec{u}_4 - \vec{u}_1) \times (\vec{u}_4 - \vec{u}_1)$, siendo $\cdot$ y $\times$ los productos escalar y vectorial de dos vectores respectivamente.

La cantidad de hierro en suero de una mujer adulta sigue una distribución normal de media 120 $\mu g/dl$ y desviación típica 30 $\mu g/dl$. Se considera que una mujer tiene un tipo de anemia por falta de hierro si su cantidad de hierro no llega a 75 $\mu g/dl$.

a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer adulta tenga anemia por falta de hierro?

b) (1 punto) El 45% de mujeres adultas tienen una cantidad de hierro en suero superior a $k$. Averigüe el valor de $k$.