Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2023

Dada la siguiente función

$$f(x)=(e^{ax}+b)x-e,\qquad a,b\in\mathbb{R},\ a\neq 0.$$

a) (1 punto) Calcula los valores de $a$ y $b$, sabiendo que dicha función tiene un extremo relativo en $x=0$ y un punto de inflexión en $x=2$.

b) (1 punto) Para los valores $a=1$ y $b=2$, calcula $\displaystyle\int x\,f(x)\,dx$.

Calcula el valor del parámetro $a\in\mathbb{R}$, para que el siguiente límite sea finito y calcula el valor de dicho límite

$$L=\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)-a\,\operatorname{sen}(x)+3x\cos(2x)}{x^{2}}.$$

Descompón el número $\sqrt{3}$ en dos sumandos positivos, de forma que la suma de sus respectivos logaritmos en base 3 sea máxima y calcula esta suma de forma exacta.

Para la siguiente función

$$f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-2x+1}$$

a) (1 punto) Indica el dominio de definición y estudia su monotonía.

b) (1 punto) Estudia la curvatura de la función (concavidad = ∩ y convexidad = U) y la existencia de puntos de inflexión, y calcúlalos si existen.

Dada la siguiente matriz:

$$A=\begin{pmatrix}1 & -1 & m\\ 2 & m & m+2\\ m-1 & 2 & 1\end{pmatrix}.$$

a) (1 punto) Discute el rango de la matriz $A$ según los valores de $m\in\mathbb{R}$.

b) (1 punto) Calcula la inversa de la matriz $A$ para el valor $m=1$.

Sabiendo que $$\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 0 & 5\\ a & b & c\end{vmatrix}=\dfrac{1}{2}$$, calcula razonadamente el determinante de la matriz

$$A=\begin{pmatrix}4a+2 & 4b+4 & 4c+6\\ 3a & 3b & 3c\\ a+4 & b & c+5\end{pmatrix}^{2}.$$

Una ONG aragonesa de reciente creación tiene tres sedes, una en Huesca, otra en Zaragoza y otra en Teruel. El número total de voluntarios es de 31. Para que Huesca y Zaragoza tuvieran el mismo número de voluntarios tendrían que trasladarse 3 de Huesca a Zaragoza. Además, el número de los voluntarios de la sede de Huesca excede en 1 a la suma de los voluntarios de las otras dos sedes. ¿Cuántos voluntarios hay en cada una de las tres sedes?

Si los vectores $\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ son linealmente independientes,

a) (1,2 puntos) Comprueba si los vectores $\{\vec{r},\vec{s},\vec{t}\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo

$$\vec{r}=\vec{u}-\vec{v}-2\vec{w},\qquad \vec{s}=\vec{u}+3\vec{w},\qquad \vec{t}=2\vec{u}-\vec{v}+\vec{w}.$$

b) (0,8 puntos) Calcula razonadamente $3\vec{s}\times(\vec{t}-\vec{r})$ donde $\times$ representa el producto vectorial de dos vectores.

De los turistas que llegaron a España el mes pasado, el 35% visitaron Aragón. Si seleccionamos al azar y de manera independiente 7 turistas que llegaron a España el mes pasado.

a) (1 punto) Razona, sin hacer uso de la calculadora: ¿Qué es más probable, que 2 de estos turistas visitaran Aragón, o que sean 5 los que visitaron nuestra Comunidad Autónoma?

b) (1 punto) Calcula la probabilidad de que alguno de los 7 turistas haya visitado Aragón.

En el club deportivo Ares, se juegan tres modalidades de raqueta: pádel, tenis y frontón-tenis. Cada socio del club sólo puede apuntarse a una única modalidad. El 60% se apuntó a pádel, el 25% a tenis y el 15% a frontón-tenis. En los campeonatos anuales entre clubes deportivos, participaron todos los socios del club Ares, de los cuales han conseguido medalla el 21% de los jugadores de pádel, el 30% de los jugadores de tenis y el 12% de los jugadores de frontón-tenis.

a) (1 punto) Calcula la probabilidad de que un jugador de raqueta del club, seleccionado al azar, haya obtenido una medalla.

b) (1 punto) Calcula la probabilidad de que un jugador con medalla, seleccionado al azar, sea jugador de la modalidad tenis.