Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2020

Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} a-3 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & a & 2 \end{pmatrix} \quad\text{y}\quad b = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ a \end{pmatrix},$$ siendo $a$ un número real cualquiera:

a) (1,25 puntos) Discuta el sistema $AX = b$ según los valores del parámetro $a$.

b) (0,75 puntos) Resuelva el sistema cuando $a = 1$.

Una farmacia vende 3 tipos de mascarillas: quirúrgicas desechables, higiénicas y quirúrgicas reutilizables. El precio medio de las 3 mascarillas es de 0.90 €. Un cliente compra 30 unidades de mascarillas quirúrgicas desechables, 20 mascarillas higiénicas y 10 quirúrgicas reutilizables, debiendo abonar por todas ellas 56 €. Otro cliente compra 20 unidades de mascarillas quirúrgicas desechables y 25 unidades de mascarillas reutilizables y paga 31 €. Calcule el precio de cada tipo de mascarilla.

Resuelva la ecuación matricial $XA + XA^t = B$, siendo $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{y}\quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Halle la ecuación general del plano que contiene a la recta $$r: \begin{cases} 3x + y - 4z + 1 = 0 \\ 2x + y - z + 2 = 0 \end{cases}$$ y es perpendicular al plano $\pi: 2x - y + 3z - 1 = 0$.

Calcule el siguiente límite $$\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{2}{tg(x)}}.$$

Un campo de juego quiere diseñarse de modo que la parte central sea rectangular de base $y$ metros y altura $x$ metros, y las partes laterales sean semicircunferencias (véase dibujo). Su superficie se desea que sea de $4 + \pi$ m$^2$. Se debe pintar el perímetro y las rayas interiores de modo que la cantidad de pintura que se gaste sea mínima (es decir, su longitud total sea mínima). Halle $x$ e $y$ de modo que se verifique este requisito.

[El campo tiene forma de estadio: un rectángulo central de base $y$ y altura $x$, con una semicircunferencia adosada en cada lado vertical, de diámetro $x$.]

Dada la siguiente función: $$f(x) = \frac{-x^2}{2} + 2\ln(x+1)$$

a) (0,25 puntos) Calcule el dominio de $f(x)$.

b) (1,75 puntos) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Calcule la siguiente integral $$\int x^3 e^{x^2}\,dx.$$

En el mes de abril de 2020 se realizó una encuesta a los estudiantes de segundo de bachiller de un centro acerca de los dispositivos con los que seguían las clases online. El 80% disponía de ordenador, el 15% disponía de móvil y el 10% disponía de ambos dispositivos. Nos hemos encontrado por casualidad en la calle con un estudiante de este centro.

a) (1,25 puntos) Halle la probabilidad de que el estudiante dispusiese de alguno de los dos dispositivos (o ambos).

b) (0,75 puntos) Halle la probabilidad de que el estudiante no dispusiese de ninguno de los dispositivos mencionados.

Un estudiante universitario de matemáticas ha comprobado que el tiempo que le cuesta llegar desde su casa a la universidad sigue una distribución normal de media 30 minutos y desviación típica 5 minutos.

a) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde menos de 40 minutos en llegar a la universidad?

b) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde entre 20 y 40 minutos?

c) (0,5 puntos) El estudiante, un día al salir de su casa, comprueba que faltan exactamente 40 minutos para que empiece la clase. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue tarde a clase?