Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2023

Sea la siguiente función

$$f(x)=\begin{cases} a\,x-\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}+2, & x\neq 0\\[2mm] 2, & x=0\end{cases},\qquad a\in\mathbb{R}.$$

a) (1 punto) Estudia su continuidad en $\mathbb{R}$ según los valores de $a$.

b) (1 punto) Calcula el valor de $a$ para que $f(x)$ tenga un extremo relativo en $x=-\dfrac{\pi}{2}$ y di qué tipo de extremo es.

Calcula el siguiente límite

$$\lim_{x\to+\infty}\left[\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x+1}\right]^{\ln x}.$$

Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x)=-x^{2}+4x$ y la recta de pendiente $\dfrac{1}{2}$ que corta a $f(x)$ en $x=\dfrac{7}{2}$.

Dada la siguiente función

$$f(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{x^{2}-x-2}}$$

a) (0,75 puntos) Estudia y escribe su dominio de definición.

b) (1,25 puntos) Estudia la existencia de asíntotas y ramas parabólicas. Determina las asíntotas caso de existir.

Sean las siguientes matrices:

$$A=\begin{pmatrix}-2 & 1\\ 2 & 0\\ 1 & -1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\\ -2 & 0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad D=A\cdot B^{T}-2I,$$

donde $B^{T}$ es la matriz traspuesta de $B$, e $I$ es la matriz identidad de orden 3.

a) (1 punto) Estudia si la matriz $D$ tiene inversa y, en caso afirmativo, calcúlala.

b) (1 punto) Resuelve la ecuación matricial $C\,X=A^{T}\cdot B$, donde $A^{T}$ es la matriz traspuesta de $A$.

Dado el siguiente sistema:

$$\begin{cases} -x + m z = 0\\ \phantom{-x+}m y + 2z = 2+m^{2}\\ \phantom{-}x + y = 2m\end{cases}$$

a) (1,2 puntos) Discute según los valores de $m\in\mathbb{R}$, qué tipo de sistema es atendiendo a las posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible).

b) (0,8 puntos) Resuelve el sistema para el valor $m=2$.

Sean las matrices

$$A=\begin{pmatrix}\tfrac12 & 1\\ -1 & -2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}-3 & 5\\ 2 & 1\end{pmatrix}.$$

a) (1 punto) Calcula la matriz $A^{n}$ para $n\in\mathbb{N}$.

b) (1 punto) Resuelve la ecuación $(A+2I)\,X=B$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.

El plano $\pi\equiv 2x+by-2z+4=0$, $b\in\mathbb{R}$ y $b\neq0$, corta a los ejes de coordenadas en tres puntos $A$, $B$ y $C$. Calcula los valores de $b\in\mathbb{R}$ tal que el área del triángulo que determinan estos tres puntos $A$, $B$ y $C$ sea $6\ \text{u}^{2}$.

Si los vectores $\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ son linealmente independientes,

a) (1 punto) Comprueba si los vectores $\{\vec{r},\vec{s},\vec{t}\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo

$$\vec{r}=2\vec{u}+\vec{w},\qquad \vec{s}=\vec{u}+\vec{v}-\vec{w},\qquad \vec{t}=-3\vec{u}-\vec{v}+\vec{w}.$$

b) (1 punto) Si además, los vectores $\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ son ortogonales y unitarios, calcula razonadamente $\vec{u}\cdot\vec{r}+\vec{v}\cdot\vec{s}+\vec{w}\cdot\vec{t}$, donde $\cdot$ representa el producto escalar de dos vectores.

El contenido total en sulfitos (medido en mg/l) del vino que se produce en una bodega, sigue una distribución normal de media 150 mg/l y desviación típica 30 mg/l. La bodega se compromete a vender solamente vinos con un contenido total en sulfitos inferior a 200 mg/l, por lo que se desechan para la venta aquellos que superen esta cantidad. Se pide,

a) (1 punto) ¿Cuál es probabilidad de que un vino producido en la bodega se deseche por la elevada cantidad total de sulfitos?

b) (1 punto) ¿Qué porcentaje de los vinos producidos en esta bodega tienen un contenido total en sulfitos entre 110 y 150 mg/l?