Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2022

Dada la siguiente función: $$f(x) = x\,e^{-ax^2}, \quad a \in \mathbb{R}$$

a) (1 punto) Determina los valores de $a \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$ y tenga la asíntota horizontal $y = 0$.

b) (1 punto) Calcula, para el valor $a = \frac{1}{2}$, el área que encierra la gráfica de la curva $f(x)$ entre el eje $X$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$.

Para la siguiente función: $$f(x) = \frac{2x^3 + ax^2 + bx + 3}{-x^3 + 4x^2 - 5x + 2}, \quad a, b \in \mathbb{R}$$

Calcula los valores de $a, b \in \mathbb{R}$, para que $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = L \in \mathbb{R}$, y determina el valor de dicho límite.

Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones: $$f(x) = 3x + 2x^2,$$ $$g(x) = x^2 + 4x + 2.$$

Para la siguiente función: $$f(x) = \frac{x^2 + x}{3 - x^2}$$

a) (1,25 puntos) Estudia la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas, así como de ramas parabólicas. Determina las asíntotas cuando existan.

b) (0,75 puntos) Calcula la recta tangente a la función en el punto $x = 1$.

Dada la siguiente matriz: $$A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ -1 & k+1 \end{pmatrix}.$$

a) (1 punto) Determina el valor de $k \in \mathbb{R}$ para que se verifique $A^2 = 3I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.

b) (1 punto) Calcula, para $k = 0$, la matriz $B^n$ con $B = 2A - I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2, y $n \in \mathbb{N}$.

Dadas las siguientes matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1-m & -1 \\ 2 & 2m \\ m-1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

a) (1 punto) Estudia, según los valores de $m \in \mathbb{R}$, el rango de la matriz $P = AB^T + C$, donde $B^T$ es la matriz traspuesta de $B$.

b) (1 punto) Para el valor $m = 1$, calcula la inversa de la matriz $P$ del apartado anterior.

Dado el siguiente sistema: $$\begin{cases} x + a\,y + z = 0 \\ x + y + a^2 z = 0 \\ x + y + 2\,a\,z = 0 \end{cases}$$

a) (1 punto) Discute según los valores de $a \in \mathbb{R}$ qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible).

b) (1 punto) Resuelve el sistema para $a = 0$.

El volumen de un tetraedro es de 10 unidades cúbicas. Si tres de sus vértices se encuentran en los puntos $A(1,1,1)$, $B(-2,1,0)$ y $C(0,1,3)$, halla las coordenadas del cuarto vértice $D$ sabiendo que se encuentra en el eje $Y$. Escribe todas las soluciones posibles.

En una academia de artes escénicas se imparten clases de danza y teatro. De danza, hay modalidad de danza clásica y cabaret. En la academia, un 17% de individuos practica danza clásica, un 45% cabaret y un 5% ambas modalidades de danza. Si elegimos un individuo que asiste a dicha academia:

a) (1 punto) Calcula la probabilidad de que practique algún tipo de danza (o los dos).

b) (1 punto) Calcula la probabilidad de que practique solamente teatro.

De los huevos que se producen diariamente en una granja, deben desecharse el 20% por no ser aptos para su consumo. Se seleccionan de manera aleatoria e independiente 5 huevos:

a) (1 punto) Calcula la probabilidad de que tengamos que desechar alguno de los huevos seleccionados (al menos 1).

b) (1 punto)

1. (0,5 puntos) ¿Qué es más probable, que haya exactamente 2 huevos no aptos, o que haya exactamente 3 huevos no aptos? Obtén estas probabilidades.

2. (0,5 puntos) ¿Cómo razonarías la respuesta a la pregunta anterior sin hacer uso de la calculadora?