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Examen resuelto de Matemáticas II — Ordinaria 2022

Aragón10 preguntas (elegir 5)60% Resuelto (PDF parcial)

Pregunta 1

2 puntos(1 + 1)

Análisis: continuidad y tangente

Continuidad por ramas y recta tangente

Dada la función

f(x)=\begin{cases}\sqrt{-x}+e^3, & x\le 0\\ (1-x)^{a/x}, & x>0\end{cases}

a\in\mathbb{R}

.
a) (1 pto) Determina los valores de

a\in\mathbb{R}

para que

f

sea continua en

\mathbb{R}

.
b) (1 pto) Para

a=1

, calcula la recta tangente a

f

x=-4

Pregunta 2

2 puntos

Análisis: límites

Límite

\infty - \infty

con raíces

Calcula el siguiente límite:

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[\sqrt{3x^2-2}-\left(\sqrt{3}\,x+5\right)\right]

Pregunta 3

2 puntos

Análisis: integral por partes

Integral por partes

\int e^{- x} (x^{2} - 1) d x

Calcula:

\displaystyle\int e^{-x}(x^2-1)\,dx

Pregunta 4

2 puntos(1 + 1)

Análisis: estudio de funciones

f (x) = (x - 1)^{2} / x^{2}

: dominio, monotonía, curvatura e inflexión

Para la función

f(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x^2}

:
a) (1 pto) Obtén el dominio de definición y estudia su crecimiento y decrecimiento.
b) (1 pto) Analiza la curvatura (concavidad

=\cap

, convexidad

=\cup

) y la existencia de puntos de inflexión en su dominio de definición.

Pregunta 5

2 puntos(1 + 1)

Álgebra: matrices y rango

Ecuación matricial y rango según parámetro

Dada la matriz

A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}

:
a) (1 pto) Resuelve la ecuación matricial

AX - 2I = A^2

, donde

I

es la identidad de orden 3.
b) (1 pto) Analiza el rango de

A - mB

según

m\in\mathbb{R}

, con

B=\begin{pmatrix}0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix}

Pregunta 6

2 puntos(1 + 1)

Álgebra: determinantes e inversa

Determinante con propiedades e inversa de matriz

a) (1 pto) Sabiendo que

\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ a & b & c\end{vmatrix}=-2

, calcula justificadamente

\begin{vmatrix}-a+2 & -c+2 & -b+2 \\ x/2 & z/2 & y/2 \\ 3 & 3 & 3\end{vmatrix}

.
b) (1 pto) Comprueba que la matriz

B=\begin{pmatrix}3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1\end{pmatrix}

es invertible y calcula su inversa.

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