Dada la función $f(x)=(e^{ax}+b)x-e$, $a,b\in\mathbb{R}$, $a\neq 0$:
a) (1 pto) Calcula los valores de $a$ y $b$ sabiendo que $f$ tiene un extremo relativo en $x=0$ y un punto de inflexión en $x=2$.
b) (1 pto) Para $a=1$ y $b=2$, calcula $\displaystyle\int x f(x)\,dx$.

Calcula el valor del parámetro $a\in\mathbb{R}$ para que el siguiente límite sea finito y calcula el valor de dicho límite: $L=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(x+1)-a\,\operatorname{sen}(x)+3x\cos(2x)}{x^2}$.

Descompón el número $\sqrt{3}$ en dos sumandos positivos, de forma que la suma de sus logaritmos en base 3 sea máxima y calcula esta suma de forma exacta.

Para $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2-2x+1}$:
a) (1 pto) Indica el dominio y estudia su monotonía.
b) (1 pto) Estudia la curvatura (concavidad $\cap$, convexidad $\cup$) y los puntos de inflexión.

Dada $$A=\begin{pmatrix}1 & -1 & m \\ 2 & m & m+2 \\ m-1 & 2 & 1\end{pmatrix}$$:
a) (1 pto) Discute el rango de $A$ según $m\in\mathbb{R}$.
b) (1 pto) Calcula $A^{-1}$ para $m=1$.

Sabiendo que $$\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ a & b & c\end{vmatrix}=\dfrac{1}{2}$$, calcula razonadamente el determinante de la matriz $A^2$ donde $$A=\begin{pmatrix}4a+2 & 4b+4 & 4c+6 \\ 3a & 3b & 3c \\ a+4 & b & c+5\end{pmatrix}$$.

Una ONG aragonesa tiene tres sedes en Huesca, Zaragoza y Teruel. El número total de voluntarios es 31. Para que Huesca y Zaragoza tuvieran el mismo número, tendrían que trasladarse 3 voluntarios de Huesca a Zaragoza. Además, Huesca excede en 1 a la suma de las otras dos sedes. ¿Cuántos voluntarios hay en cada sede?

Si los vectores $\{\vec u,\vec v,\vec w\}$ son linealmente independientes:
a) (1,2 pto) Comprueba si los vectores $\{\vec r,\vec s,\vec t\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo $\vec r=\vec u-\vec v-2\vec w$, $\vec s=\vec u+3\vec w$, $\vec t=2\vec u-\vec v+\vec w$.
b) (0,8 pto) Calcula razonadamente $3\vec s\times(\vec t-\vec r)$ donde $\times$ representa el producto vectorial.

El 35% de los turistas que llegaron a España visitaron Aragón. Si seleccionamos 7 turistas al azar de manera independiente:
a) (1 pto) Sin calculadora: ¿qué es más probable, que 2 de ellos visitaran Aragón o que lo hicieran 5?
b) (1 pto) Calcula la probabilidad de que alguno de los 7 turistas haya visitado Aragón.

En el club Ares se juegan tres modalidades: pádel (60%), tenis (25%) y frontón-tenis (15%). En los campeonatos, han conseguido medalla el 21% de los de pádel, el 30% de los de tenis y el 12% de los de frontón-tenis.
a) (1 pto) Probabilidad de que un jugador de raqueta seleccionado al azar haya obtenido medalla.
b) (1 pto) Probabilidad de que un jugador con medalla, seleccionado al azar, sea jugador de tenis.