Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2024

Dada la siguiente función $$f(x) = \begin{cases} a - \cos(x) & x \le 0 \\ x^{2} - b\,\operatorname{sen}\!\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) & x > 0 \end{cases}, \qquad a, b \in \mathbb{R}.$$

(a) (1 punto) Estudia su continuidad en $\mathbb{R}$ según los valores de $a$ y $b$.

(b) (1 punto) Para $a = 1$, calcula el valor de $b$ para que, en el punto con $x = \dfrac{\pi}{2}$, la función tenga la recta tangente $y = \dfrac{\pi}{2}x$.

Estudia la existencia del siguiente límite y calcúlalo en caso de existir: $$\lim_{x\to 2} \dfrac{(x - 2)\cdot(3x^{5} + 5x^{4} - 7x^{3} + 2x^{2} - x + 3) + 2}{3 - (x^{2} - 4)\cdot\sqrt{\operatorname{sen}(2x^{2}) + (\cos(x))^{2} + \log(x + 5)}}.$$

Calcula el área encerrada por las gráficas de las funciones $f(x) = x + 6$ y $$g(x) = \begin{cases} -2x & \text{si } x < 0 \\ x^{2} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}.$$

En una cristalería, a un cristal rectangular de 120 centímetros de alto y 70 centímetros de ancho se le ha cortado por error la esquina superior derecha como se ve en el dibujo. Quieren recortar dicho cristal nuevamente de forma rectangular, de modo que la superficie sea la máxima posible haciendo como máximo dos cortes. ¿Cuáles serán las dimensiones del nuevo cristal rectangular recortado?

[Según el dibujo del PDF: el rectángulo mide 120 cm de alto y 70 cm de ancho; el borde superior conserva 60 cm rectos antes del corte y el borde derecho conserva 90 cm rectos desde abajo, de modo que el corte oblicuo une los puntos $(60, 120)$ y $(70, 90)$.]

De una matriz $B$ sabemos que cumple $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ -7 & -8 & -9 \end{pmatrix} \cdot B = I_3 - \begin{pmatrix} 10 & 11 & 12 \\ 7 & 9 & 9 \\ -4 & -5 & -7 \end{pmatrix} \cdot B,$$ donde $I_3$ es la matriz identidad de orden 3. Estudia si la matriz $B$ tiene inversa. En caso afirmativo, calcula la inversa de $B$.

Dadas las siguientes matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m & m \\ 4 & 4 & 2m \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 12 \end{pmatrix}, \qquad m \in \mathbb{R}.$$

(a) (1,2 puntos) Analiza el rango de la matriz $A$ según los valores de $m \in \mathbb{R}$.

(b) (0,8 puntos) Resuelve el sistema $A \cdot X = B$ para el valor $m = 2$.

En un laboratorio de una empresa farmacéutica se fabrican tres tipos de medicamentos, $M_1$, $M_2$ y $M_3$, a partir de tres principios activos, $A_1$, $A_2$ y $A_3$, distintos. En la siguiente tabla se reflejan los miligramos de principio activo necesarios para fabricar un gramo de cada medicamento:

Para 1 g de $M_1$: 10 mg de $A_1$, 10 mg de $A_2$, 20 mg de $A_3$. Para 1 g de $M_2$: 10 mg de $A_1$, 20 mg de $A_2$, 30 mg de $A_3$. Para 1 g de $M_3$: 20 mg de $A_1$, 30 mg de $A_2$, 50 mg de $A_3$.

En dicho laboratorio se dispone actualmente de 70 gramos del activo $A_1$, 90 gramos del activo $A_2$ y 160 gramos del activo $A_3$. Se va a cerrar por vacaciones y la empresa quiere no dejar principios activos en el laboratorio. ¿Es posible utilizar la cantidad total exacta disponible de principios activos del laboratorio fabricando los medicamentos $M_1$, $M_2$ y $M_3$? En caso afirmativo, ¿qué cantidades de cada medicamento podrá fabricar el laboratorio con dichos principios activos?

Halla la ecuación de un plano que es perpendicular a la recta dada por los planos $$\begin{cases} 2x + y - z = 0 \\ x - y + z = -3 \end{cases}$$ y además pasa por el punto $(3, 2, 1)$.

Sean $A(1, 2, 3)$, $B(1, 0, -1)$ y $C(2, 2, 2)$ tres puntos en el espacio y $\vec{v}_1$ el vector que va de $A$ a $B$; $\vec{v}_2$ el vector que va de $B$ a $C$ y $\vec{v}_3$ el vector que va de $C$ a $A$.

(a) (1 punto) Estudia si los vectores $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ y $\vec{v}_3$ son linealmente independientes.

(b) (1 punto) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son $A$, $B$, $C$.

El 84 % de los exámenes de Matemáticas II de la fase genérica en la convocatoria ordinaria de la EvAU en 2022 en Aragón obtuvieron una nota mayor o igual a 5.

(a) (0,8 puntos) Si seleccionamos aleatoriamente 15 de aquellos exámenes, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 tengan una nota inferior a 5?

(b) (1,2 puntos) Con los 15 exámenes anteriores, ¿es más probable que menos de 2 exámenes tengan nota inferior a 5 o que más de 2 exámenes tengan nota inferior a 5?