Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2024

Dada la siguiente función

$$f(x)=\begin{cases} \dfrac{e^{2x}-1}{x} & \text{si } x\neq 0 \\[2mm] a & \text{si } x=0 \end{cases}, \quad a\in\mathbb{R}.$$

(a) (1 punto) Estudia su continuidad en $\mathbb{R}$ según los valores de $a$.

(b) (1 punto) Para el valor de $a=1$, calcula los puntos de corte de la recta tangente a la curva en $x=1$, con los ejes $OX$ y $OY$.

Calcula justificadamente el siguiente límite

$$\lim_{x\to+\infty}\left[\sqrt{x^{2}+5}-(x+2)\right].$$

(a) (1,2 puntos) Calcula $a$, $b$ y $c\in\mathbb{R}$ tales que la función

$$f(x)=a\,x+b\,\operatorname{sen}(x)\cos(x)+c$$

sea una primitiva de $g(x)=\operatorname{sen}^{2}(x)$. (Nota: recuerda que $\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1\ \forall x\in\mathbb{R}$.)

(b) (0,8 puntos) Sabiendo que $\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}(x)\cos(x)$, demuestra que $\cos(2x)=\cos^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)$.

Demuestra que, entre todos los rectángulos de perímetro $P$ cm, el de mayor área es el cuadrado.

Dadas las siguientes matrices:

$$A=\begin{pmatrix}-2 & 1\\ 2 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix},\quad C=A^{T}\cdot B+I_{2},$$

donde $A^{T}$ es la matriz traspuesta de $A$, e $I_{2}$ es la matriz identidad de orden 2.

(a) (0,8 puntos) Calcula $C^{2n}$, con $n\in\mathbb{N}$.

(b) (1,2 puntos) Resuelve la ecuación $C\cdot X=5(A^{T}\cdot B)$.

Dada la matriz $$A=\begin{pmatrix}2 & -3 & 4\\ -4 & 6 & m-6\\ 2 & -3 & m+6\end{pmatrix}$$, con $m\in\mathbb{R}$ un parámetro.

(a) (1,2 puntos) Estudia el rango de la matriz $A$ en función del parámetro $m\in\mathbb{R}$.

(b) (0,8 puntos) Resuelve, si es posible, el sistema homogéneo $A\cdot X=0$ cuando $m=6$.

Analizamos en un comercio los precios de tres artículos A, B y C. El producto A, es de primera necesidad y tiene un tipo superreducido de IVA del 4 %; el producto B es de alimentación y tiene un tipo reducido de IVA del 10 % y el artículo C es un pequeño electrodoméstico cuyo tipo de IVA es del 21 %. El precio total sin IVA de la compra de 1 artículo A de primera necesidad, 2 productos B de alimentación y 5 pequeños electrodomésticos C es de 483 €. Mientras que el total de IVA correspondiente a la compra de 100 artículos de primera necesidad A, 10 productos de alimentación B y 100 pequeños electrodomésticos C, es de 1954 €. Además, se sabe que el precio sin IVA del pequeño electrodoméstico es igual al precio sin IVA de cuatro artículos de primera necesidad más ocho artículos de alimentación. Calcula los precios a la venta de los tres artículos, teniendo en cuenta que el precio a la venta es el precio con IVA incluido.

Dados los puntos $P_1(-2,1,1)$, $P_2(0,a,-2)$, $P_3(-1,1,-1)$ y $P_4(1,3,-3)$, se pide:

(a) (1,2 puntos) Calcula los valores de $a\in\mathbb{R}$ para que el tetraedro con vértices $P_1$, $P_2$, $P_3$ y $P_4$ tenga volumen $1/3$.

(b) (0,8 puntos) Calcula el valor de $a\in\mathbb{R}$ para que los cuatro puntos sean coplanarios.

Una asignatura de matemáticas de la Escuela de Ingeniería y Arquitectura de la Universidad de Zaragoza tiene 99 personas matriculadas (54 alumnas y 45 alumnos). En primera convocatoria aprueban la asignatura 49 personas (28 alumnas y 21 alumnos).

(a) (1,2 puntos) ¿Cuál es el porcentaje de alumnas que aprueban la asignatura en primera convocatoria?, ¿y de alumnos?

(b) (0,8 puntos) Si elegimos aleatoriamente a una persona que haya aprobado la asignatura en primera convocatoria, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

Vamos a suponer que durante el año 2023, las llegadas de turistas a nuestro país se realizaron de la siguiente forma: un 55 % llegó en avión, un 30 % llegó en tren, un 10 % llegó en autobús y un 5 % llegó en barco. Además, sabemos que, de todos estos viajeros, visitaron Aragón el 50 % de los que vinieron en avión, el 60 % de los que vinieron en tren, el total de los que viajaron en autobús, y un 20 % de los que vinieron en barco. Con estos datos, se pide:

(a) (1 punto) Calcula la probabilidad de que un turista seleccionado al azar entre los que visitaron España en 2023 haya visitado Aragón.

(b) (1 punto) Calcula la probabilidad de que un turista visitante de Aragón haya hecho su viaje a España en autobús o en tren.