Queremos encriptar el mensaje "HOLA" con un sistema de encriptado que consta de los siguientes pasos:
Paso 1: Convertimos cada carácter según la tabla: A=1, B=2, ..., H=8, ..., L=12, ..., O=16, ..., Z=27.
Paso 2: Construimos una matriz columna $M_c$ con los cuatro números obtenidos.
Paso 3: Multiplicamos la matriz de encriptado $M_E = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ por $M_c$. El resultado $M_{$\text{final}} es el mensaje encriptado.

Sean $\vec{u}$$\vec{u}$ y $\vec{v}$$\vec{v}$ dos vectores no nulos de $\mathbb{R}^3$ perpendiculares entre sí y $\vec{w}=\vec{u}\times \vec{v}$$\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$ su producto vectorial. Se definen $\vec{a}=(\vec{u}\times \vec{v})+\vec{w}$$\vec{a} = (\vec{u} \times \vec{v}) + \vec{w}$, $b =$$\vec{v} \times (\vec{v} \times \vec{w})$ y $c =$$\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$. Indica si $a$, $b$ y $c$ son vectores o escalares. Para los vectores, justifica si son paralelos o perpendiculares a $\vec{u}$$\vec{u}$, $\vec{v}$$\vec{v}$ y $\vec{w}$$\vec{w}$.

a) Halla las ecuaciones paramétricas de la recta $s$ que pasa por el punto $P(4, -3, 0)$ y es perpendicular al plano $\pi \equiv x-2y+z-1=0$$\pi \equiv x - 2y + z - 1 = 0$.
b) Halla la ecuación del plano que contiene al punto $Q(1, 2, 3)$ y a la recta $r \equiv \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - 2y = 0 \end{cases}$.

Queremos aproximar la función $f(x) = e^x$ en el intervalo $[0, 1]$ por otra función $g_m(x) = mx$ con $m \in \mathbb{R}$. Definimos como error de la aproximación: $\text{err}(m)={\int }_0^1(f(x)-g_m(x){)}^{2}dx$$\text{err}(m) = \int_0^1 (f(x) - g_m(x))^2 \, dx$.

a) Calcula $\displaystyle\lim_{x \to 0}$$\frac{x^2 - \sin(x^2)}{1 - \cos(x)}$.
b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de $f(x) = \cos^2(x)\sin(x)$, $x \in [0,$$\pi]$, y el eje de abscisas.

En un juego, una ficha se mueve entre casillas 1, 2 y 3. De 1 puede ir a 2; de 2 puede ir a 1 o 3; de 3 puede ir a 2. Se lanza una moneda equilibrada: cara → izquierda, cruz → derecha. Si no puede moverse, se queda.

Dados dos sucesos aleatorios de los que se sabe que $P(A|B) =$$\frac{2}{3}$ y $P(B|A) =$$\frac{3}{4}$.