Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2025

Queremos encriptar el mensaje “HOLA” con un sistema de encriptado que consta de los siguientes pasos:

Paso 1: Convertimos cada carácter del mensaje a encriptar (en nuestro caso la palabra “HOLA”) en un número según la tabla siguiente:

A=1, B=2, C=3, D=4, E=5, F=6, G=7, H=8, I=9, J=10, K=11, L=12, M=13, N=14, Ñ=15, O=16, P=17, Q=18, R=19, S=20, T=21, U=22, V=23, W=24, X=25, Y=26, Z=27.

Paso 2: Construimos una matriz columna, $M_c$, con los cuatro números obtenidos en el paso anterior.

Paso 3: Multiplicamos la matriz de encriptado, $$M_E = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix},$$ por la matriz $M_c$ obtenida en el paso anterior.

El resultado del último paso, $M_{final}$, es el mensaje encriptado.

a) (0,5 puntos) Obtén el mensaje encriptado al que se llega a partir del mensaje “HOLA” inicial.

b) (0,5 puntos) Explica cómo podríamos realizar el proceso de desencriptado para recuperar un mensaje a partir de un mensaje encriptado recibido.

c) (1 punto) Si hemos obtenido el mensaje encriptado $$M_{final} = \begin{pmatrix} 30 \\ -21 \\ -25 \\ -16 \end{pmatrix}$$ con el proceso descrito arriba, ¿cuál es el mensaje original?

d) (0,5 puntos) Si quisiéramos utilizar otra matriz de encriptado, del mismo tamaño que $M_E$, ¿qué condición debería cumplir dicha matriz para poder realizar el proceso completo de encriptado y desencriptado sin problemas?

Opción 1 (pregunta 2.1). Esta es la primera de las dos opciones de la Pregunta 2; el estudiante elige una. La resolvemos por valor pedagógico.

(2,5 puntos) Sean $u$ y $v$ dos vectores no nulos de $\mathbb{R}^3$ perpendiculares entre sí y $w = u \times v$ su producto vectorial. Se definen $a = (u \times v) + w$, $b = v \times (v \times w)$ y $c = u \cdot (v \times w)$. Indica si $a$, $b$ y $c$ son vectores o escalares (números). Para aquellos que sean vectores, justifica si son paralelos o perpendiculares a cada uno de los vectores $u$, $v$ y $w$.

Opción 2 (pregunta 2.2). Esta es la segunda de las dos opciones de la Pregunta 2; el estudiante elige una. La resolvemos por valor pedagógico.

a) (1 punto) Halla las ecuaciones paramétricas de la recta $s$ que pasa por el punto $P(4, -3, 0)$ y es perpendicular al plano $\pi \equiv x - 2y + z - 1 = 0$.

b) (1,5 puntos) Halla la ecuación del plano que contiene al punto $Q(1, 2, 3)$ y a la recta $$r \equiv \begin{cases} x + y + z = 1, \\ x - 2y = 0. \end{cases}$$

Opción 1 (pregunta 3.1). Esta es la primera de las dos opciones de la Pregunta 3; el estudiante elige una. La resolvemos por valor pedagógico.

Queremos aproximar la función $f(x) = e^{x}$, con $x$ en el intervalo $[0, 1]$, por otra función $g_m(x) = mx$ con $m$ un parámetro en $\mathbb{R}$. Definimos como error de la aproximación la expresión $$\mathrm{err}(m) = \int_0^1 (f(x) - g_m(x))^2\,dx.$$

a) (1,5 puntos) Comprueba que $\mathrm{err}(m) = \dfrac{e^{2}}{2} - \dfrac{1}{2} - 2m + \dfrac{m^{2}}{3}$ con $m \in \mathbb{R}$.

b) (1 punto) ¿Cuál es el valor de $m \in \mathbb{R}$ que minimiza el error? ¿Cuál será el valor mínimo del error?

Opción 2 (pregunta 3.2). Esta es la segunda de las dos opciones de la Pregunta 3; el estudiante elige una. La resolvemos por valor pedagógico.

a) (1,25 puntos) Calcula $$\lim_{x\to 0} \dfrac{x^{2} - \operatorname{sen}(x^{2})}{1 - \cos(x)}.$$

b) (1,25 puntos) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función $$f(x) = \cos^{2}(x)\,\operatorname{sen}(x), \qquad x \in [0, \pi]$$ y el eje de abscisas.

Opción 1 (pregunta 4.1). Esta es la primera de las dos opciones de la Pregunta 4; el estudiante elige una. La resolvemos por valor pedagógico.

En un juego se cuenta con el siguiente tablero, de manera que una ficha puede desplazarse de la casilla 1 a la 2; de la 2 puede desplazarse a las casillas 1 y 3; y de la casilla 3 a la casilla 2. [El tablero del PDF tiene tres casillas contiguas etiquetadas 1, 2, 3.]

Para decidir el movimiento a realizar en cada turno, se lanza una moneda equilibrada (misma probabilidad de cara y cruz). Si sale cara, se intenta desplazar la ficha a la izquierda; si sale cruz, a la derecha. En caso de no poder realizar el desplazamiento correspondiente, la ficha se queda en la casilla en la que está durante ese turno.

a) (0,5 puntos) Construye un árbol (o una tabla) que muestre las probabilidades de pasar de una casilla a otra en un turno.

b) (1 punto) Si la ficha se encuentra en la casilla 1, ¿cuál es la probabilidad de que tras tres turnos se encuentre de nuevo en la casilla 1?

c) (1 punto) Para comenzar el juego, se procede a un sorteo para ver dónde comienza la ficha. Si la probabilidad de empezar en la casilla 1 es $1/2$ y la probabilidad de empezar en la casilla 2 y en la 3 es de $1/4$ para cada una, ¿cuál es la probabilidad de que la ficha esté en cada una de las tres casillas dos turnos después de empezar?

Opción 2 (pregunta 4.2). Esta es la segunda de las dos opciones de la Pregunta 4; el estudiante elige una. La resolvemos por valor pedagógico.

Dados dos sucesos aleatorios de los que se sabe que $P(A\mid B) = 2/3$ y $P(B\mid A) = 3/4$.

a) (1 punto) Si $A$ y $B$ fueran independientes, ¿cuánto valdría $P(A\cup B)$?

b) (1,5 puntos) Si $P(A\cup B) = 5/6$, ¿cuáles son las probabilidades $P(A)$, $P(B)$ y $P(A\cup \bar B)$?