Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2025

Problema A1. Un grup d'investigació de la UIB participa en un estudi de profunditats marines a 350 m de fondària. Una embarcació arriba al punt O de la superfície (origen). a) Submergeixen un dispositiu verticalment 315 m i, després, el desplacen 37 m sobre la recta {x=0, 35y+12z=-3780} fins assolir la profunditat desitjada (350 m). Calcula el punt final del dispositiu respecte a O. b) Per mantenir la profunditat de 350 m, sobre quin pla s'ha de desplaçar el dispositiu? c) Un objecte (peix) es desplaça segons la trajectòria {x=5+4λ, y=10+λ, z=-380+10λ}. Pot xocar amb el dispositiu? En cas afirmatiu, on?

Problema B1. Una empresa de construcció comprà fusta (cost x €/kg), ferro (cost y €/kg) i plàstic (cost z €/kg). Els 4 productes verifiquen: P1: 2x+y-z=40; P2: x-y+2z=90; P3: x+2y=70; P4: x-y+z=50. a) Descriu què significa l'equació del producte 1. b) És possible calcular x, y, z?

Problema C2. Donada la funció f(x) = (1/x) ln(2x). a) Determina el domini de la funció i el comportament de la funció als extrems del seu domini. b) Calcula l'àrea compresa entre f(x), l'eix d'abscisses i les rectes x = 1/2 i x = 5.

Problema D2. En una universitat: 55% dones (D) i 45% homes (H). El 13% de les dones estudien STEM i el 37% dels homes també. Si escollim un estudiant a l'atzar: a) Probabilitat que estudi STEM. b) Sabent que estudia STEM, probabilitat que sigui dona. c) Sabent que NO estudia STEM, probabilitat que sigui dona.

Problema B2. Siguin A i B matrius 3×3, A invertible, I la identitat 3×3. a) Sabent que AB+I=A, calcula la inversa de A en funció de I i B. b) Sabent que A = ((0,1,-1),(1,-1,1),(1,2,0)) i A⁻¹ = (1/2)·((2,2,0),(-1,-1,1),(-3,-1,1)), calcula B i digues si és invertible.

Problema C1. La funció A(x) = -0.0001x³ + 0.05x² - 4x + 200 descriu l'altitud (en metres) sobre un tram de 500 m, x∈[0,500]. a) Demostra que existeix almenys un punt x amb A(x)=0 al tram (Bolzano). b) Estudia els punts crítics i el creixement/decreixement: és aquest punt únic?

Problema D1. P(tenir tuberculosi) = 0.0005. P(test+ | malalt) = 0.99. P(test- | sa) = 0.99. a) Probabilitat que el test doni positiu si la persona NO té la malaltia. b) Probabilitat de tenir tuberculosi si el test és NEGATIU.