Un grup d'investigació va desplegar un dispositiu submarí. Un vaixell arriba al punt de la superfície del mar, diguem-li $O$, per submergir un dispositiu verticalment 315 m. Tot seguit, aquest es va desplaçar 37 m sobre la recta $r$:$$r:\begin{cases} x=0 \\ 35y+12z=-3780 \end{cases}$$fins assolir la profunditat desitjada.
a) [1 punt] Calcula el punt on es va situar el dispositiu després d'aquest moviment considerant el punt $O$ el centre de referència.
b) [0,5 punts] Si volem mantenir la profunditat desitjada (350 m), sobre quin pla s'ha de desplaçar el dispositiu?
c) [1 punt] Un objecte es desplaça en línia recta sobre la trajectòria $s$:$$s:\begin{cases} x=5+4$$\lambda \\ y=10+\lambda \\ z=-380+10\lambda \end{cases}Podria xocar contra el dispositiu? En cas afirmatiu, a quin punt podria ocórrer la col·lisió?

Una empresa de construcción necessita comprar fusta ($x$ €/kg), ferro ($y$ €/kg) i plàstic ($z$ €/kg) per elaborar 4 productes:
- Producte 1: $2x + y - z = 40$ €
- Producte 2: $x - y + 2z = 90$ €
- Producte 3: $x + 2y = 70$ €
- Producte 4: $x - y + z = 50$ €
a) [0,5 punts] Descriu què significa l'equació del producte 1.
b) [2 punts] Amb les dades de que disposam, és possible calcular el preu del kg de cada matèria primera? És a dir, calcular $x$, $y$, $z$? Justifica la teva resposta.

Siguin $A$ i $B$ dues matrius $3$$\times 3$. $A$ és invertible. Sigui $I$ la matriu identitat de dimensió $3$$\times 3$.
a) [1 punt] Sabent que $AB + I = A$, calcula la inversa de $A$ en funció de $I$ i $B$.
b) [1,5 punts] Sabent que $A$ i la seva inversa $A^{-1}$ són tals que:$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad A^{-1} =$$$\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ -3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$calcula la matriu $B$ que satisfà la igualtat $AB + I = A$. És $B$ invertible? Justifica la resposta.

La funció que descriu l'altitud $A$ d'un terreny (en metres) sobre un tram de 500 metres és:$$A(x) = -0$$$\text{,}0001x^3 + 0\text{,}05x^2 - 4x + 200$on $x \in [0$$\text{,}\; 500]$ és la distància recorreguda horitzontalment, mesurada en metres.
a) [1,5 punts] Demostra que existeix almenys un punt $x$ on l'altitud és 0 dins del tram considerat. Indicació: es pot fer ús del teorema de Bolzano.
b) [1 punt] Estudia els punts crítics de la funció i el seu creixement/decreixement per concloure si aquest punt és únic o no. Ho és? Justifica la resposta.

Donada la funció:$$f(x) =$$$\frac{1}{x} \ln(2x)$a) [1 punt] Determina el domini de la funció i el comportament de la funció als extrems del seu domini.
b) [1,5 punts] Calcula l'àrea compresa entre $f(x)$, l'eix d'abscisses i les rectes $x = 1$ i $x = 5$.

Suposem que la probabilitat de tenir tuberculosi és de $0$$\text{,}0005$. Sabent que la prova doni positiu sabent que la malaltia és present és del 99% i la probabilitat que doni negatiu quan no és també és del 99%, contesta:
a) [1,25 punts] Quina és la probabilitat de que el test doni positiu si la persona no té la malaltia?
b) [1,25 punts] Quina és la probabilitat de tenir tuberculosi si el resultat de la prova és negatiu?

En una universitat espanyola, el 55% de l'alumnat són dones i el 45% són homes. El 13% de les dones estudien una carrera STEM, mentre que el 37% dels homes també n'estudien una.
a) [0,75 punts] Quina és la probabilitat de que l'estudiant escollit estudii STEM?
b) [1 punt] Sabent que l'estudiant escollit estudia STEM, quina és la probabilitat de que sigui dona?
c) [0,75 punts] Sabent que l'estudiant escollit NO estudia STEM, quina és la probabilitat de que sigui dona?