Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2021

Donada la matriu A = ((a², a, a), (a, a², 1), (a, 1, a²)). (a) Estudia el rang de la matriu A segons els valors de a. (6 punts) (b) Determina per a quins valors de a la matriu A és invertible. (1 punt) (c) Per al valor de a = −1 calcula la solució, X, de l'equació matricial A · X = (0, 0, 0)^T. (3 punts)

Sigui la matriu A = ((1,1),(2,1)). (a) Calcula Aᵗ, A² i A⁻¹. (3 punts) (b) Sigui I la matriu identitat. Resol X de l'equació A² − 2AX + I = ((2,0),(0,−4)). (3 punts) (c) Calcula totes les matrius B per a les quals A · B = B · Aᵗ. (4 punts)

Considera la funció f(x) = 1/x⁴. (a) Representa-la gràficament. (7 punts) (b) Comprova que f(2) = f(−2). (1 punt) (c) Comprova que no existeix c ∈ [−2, 2] tal que f'(c) = 0. (1 punt) (d) Hi ha una contradicció amb la conclusió del teorema de Rolle? (1 punt)

Donada la funció f(x) = −x/(4 − x²). (a) Calcula una primitiva de f(x). (5 punts) (b) Calcula l'àrea delimitada per la gràfica de f(x), les rectes x = √5 i x = √6, i l'eix X. (5 punts)

Considera els punts A = (5, a, 7), B = (3, −1, 7), C = (6, 5, 4). (a) Determina el valor del paràmetre a per al qual els punts A, B i C formen un triangle rectangle, amb l'angle recte al punt B. (3 punts) (b) Per al valor de a = −2, calcula l'àrea del triangle de vèrtexs A, B i C. (3 punts) (c) Per al valor de a = 5, calcula l'angle format pels vectors AB i AC. (4 punts)

Donades les rectes r: (x−m)/−1 = (y+10)/4 = (z+3)/1, s: {x = 1, y = 6 + 4λ, z = −1 + 2λ}. (a) Calcula el valor de m per tal que es tallin en un punt. (7 punts) (b) Calcula el punt de tall. (3 punts)

Es disposa de dues urnes: U1 i U2. A U1 hi ha: 4 bolles vermelles i 5 bolles negres. A U2 hi ha: 6 bolles vermelles i 3 bolles negres. A l'atzar es treu una bolla de U1 i s'introdueix a U2, a continuació s'extreu a l'atzar una bolla de U2. Calcula la probabilitat que: (a) surti una bolla vermella de U2. (3 punts) (b) la bolla extreta de U1 sigui negra, sabent que la bolla que ha sortit de U2 també ha estat negra. (3 punts) (c) surti almenys una bolla vermella. (4 punts)

Una companyia aèria ha observat que els pesos de les maletes d'un determinat trajecte segueixen una distribució normal de mitjana 7,5 kg i desviació típica de 0,4 kg. Calcula la probabilitat que, escollida una maleta a l'atzar: (a) pesi menys de 7,2 kg però més de 7 kg. (4 punts) (b) pesi entre 7,8 kg i 8 kg. (3 punts) (c) Si en un trajecte hi ha 90 maletes, quantes maletes és d'esperar que pesin almenys 8,1 kg? (3 punts)