Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2024

Una fàbrica de vi de Mallorca produeix 3 tipus de vi: negre, blanc i rosat. Amb la finalitat de saber el preu de cada tipus de vi, hem comprat vi, el mateix dia i a la fàbrica mateixa, de 4 maneres diferents:
• comprant 3 botelles de vi negre i 2 de vi blanc hem pagat 67 €,
• comprant 2 botelles de vi negre, 4 de vi blanc i 1 de rosat hem pagat 85 €,
• comprant 1 botella de vi negre i 1 de vi rosat hem pagat 21 €, i finalment,
• comprant 4 botelles de vi blanc i 5 de vi rosat hem pagat 85 €.
(a) [3 punts] Escriu, en forma matricial, el sistema d'equacions lineals que s'hauria de resoldre per poder descobrir el preu de cada tipus de vi.
(b) [2 punts] És necessari tenir les dades de les 4 compres per saber el preu de cada tipus de vi? Justifica la resposta.
(c) [5 punts] Calcula quin és el preu de cada tipus de vi.

Considerem les matrius $A$ de dimensió $3 \times 3$ que satisfan que $3A + I = A^2$, on $I$ és la matriu identitat de dimensió $3 \times 3$.
(a) [3 punts] Calcula l'expressió de la matriu inversa de $A$.
(b) [3 punts] Donada l'equació matricial $A + 3AX = 5I$, on $A$ és una de les matrius de l'enunciat. Calcula, en funció només de la matriu $A$ (no de la seva inversa) i de la identitat $I$, la matriu $X$. Quina dimensió té la matriu $X$? Justifica la resposta.
(c) [4 punts] Calcula totes les matrius de la forma $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}$$ que satisfan les condicions de l'enunciat.

Considerem els punts $A=(0,0,0)$, $B=(2,-1,3)$ i $C=(-1,2,1)$.
(a) [3 punts] Calcula el punt $D$ tal que $ABDC$ sigui un paral·lelogram.
(b) [4 punts] Calcula un dels punts $E$ de l'espai de tal manera que la recta $AE$ sigui perpendicular al pla $ABC$ i que la distància entre els punts $A$ i $E$ sigui 1.
(c) [3 punts] Escriu l'equació d'un dels plans paral·lels al pla $ABC$ que dista una unitat d'aquest.

(a) [5 punts] Discuteix, segons els valors de $a$ i $b$ (paràmetres reals), la posició relativa dels plans $\pi_1: 3x + ay - z = 1$ i $\pi_2: 6x + y - 2z = b$. És a dir, si són coincidents, paral·lels o es tallen. En el darrer cas, especifica si ho fan perpendicularment.
(b) [5 punts] Calcula l'equació de la recta perpendicular al pla $\pi$ i que passa pel punt de tall entre la recta $s$ i el mateix pla $\pi$, sent $$\pi: \begin{cases} x = 2 + 4\alpha - \beta \\ y = 3\beta \\ z = 1 + \alpha \end{cases}$$ i $s: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z-1}{-1}$, per a $\alpha$ i $\beta$ valors reals qualssevol.

[10 punts] Volem fer una tanca en un camp rectangular emprant diferents materials a cada costat. Començant pel fons del camp i movent-nos al voltant d'aquest en el sentit contrari a les agulles del rellotge, el cost del material per a cada costat és de 6 €/m, 9 €/m, 12 €/m i 14 €/m, respectivament. Si hem de gastar exactament 1000 € per comprar el material de tancament, determina les dimensions del camp que maximitzaran l'àrea tancada.

Sigui la funció $$f(x) = \begin{cases} be^x + a + 1, & x \leq 0, \\ ax^2 + b(x+3), & 0 < x \leq 1, \\ a\cos(\pi x) + 7bx, & x > 1. \end{cases}$$
(a) [5 punts] Calcula els valors de $a$ i $b$ per als quals la funció $f(x)$ és contínua.
(b) [5 punts] Siguin $a = 3$ i $b = 2$, calcula l'àrea compresa entre $x = -1$, $x = 0$ i l'eix $OX$.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un mateix espai mostral tals que satisfan que $P(A\cup B)=0.7$, $P(A\cap B)=0.1$ i $P(A\cap B^c) = 0.35$ (sent $B^c$ el succés complementari de $B$), calcula:
(a) [3 punts] $P(A)$.
(b) [3 punts] $P(B)$.
(c) [2 punts] $P(A^c \cup B^c)$.
(d) [2 punts] Són $A$ i $B$ successos independents?

La durada dels embarassos humans des de la concepció fins al naixement s'aproxima a una distribució normal amb una mitjana de 266 dies i una desviació típica de 16 dies.
(a) [4 punts] Quina proporció de tots els embarassos durarà entre 240 i 270 dies (aproximadament entre 8 i 9 mesos)?
(b) [6 punts] Si ens fixam en el 70% dels embarassos que més duren, quina és la seva durada?