Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2024

Siguin les matrius $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ i $$C = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$$.
(a) [3 punts] Calcula la matriu $M = A^\top A - BB^\top$.
(b) [3 punts] Justifica si $M$ és o no invertible. En cas afirmatiu, resol els sistemes d'equacions $M\binom{a}{c} = \binom{1}{0}$ i $M\binom{b}{d} = \binom{0}{1}$, per tal de calcular la inversa de la matriu $M$. Comprova que la matriu $\binom{a\ b}{c\ d}$, per als valors de $a, b, c$ i $d$ calculats, és la matriu inversa de $M$.
(c) [4 punts] Calcula la matriu $X$ que compleix la igualtat $XM + A = C$.

Sigui $I_3$ la matriu identitat d'ordre $3\times 3$ i $A$ la matriu $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$.
(a) [4 punts] Calcula la matriu $B = 3A - kI_3$, indicant la seva expressió en funció del paràmetre real $k$.
(b) [4 punts] Discuteix el rang de la matriu $B$ segons el paràmetre $k$.
(c) [2 punts] Per a quins valors de $k$ es pot calcular la inversa de $B$? Justifica la resposta.

Siguin $P = (-1, 1, 1)$, $Q = (7, 1, 7)$ i $R = (-4, 1, 5)$ punts de $\mathbb{R}^3$.
(a) [3 punts] Demostra que els tres punts formen un triangle rectangle. Indica quin dels 3 angles és recte.
(b) [3 punts] Es podria construir un quadrat afegint un únic nou vèrtex? Justifica la resposta.
(c) [4 punts] Prova que, per a qualsevol valor de $a$ real, el punt $S = (a, 1, 0)$ és coplanari amb $P$, $Q$ i $R$.

Siguin les rectes $$r: \begin{cases} x + 2y = -1 \\ z = 1 \end{cases}$$ i $s: x+1 = \dfrac{y-1}{2} = z$. Calcula:
(a) [5 punts] La posició relativa de les dues rectes. És a dir, si són coincidents, paral·leles, es tallen, o s'encreuen. En els darrers dos casos, especifica si ho fan perpendicularment.
(b) [5 punts] L'equació del pla que és paral·lel a les dues rectes $r$ i $s$, i passa pel punt $A = (2, 2, 1)$.

Resol els següents apartats:
(a) [5 punts] Donada la funció $f(x) = ax + b\sqrt{x}$, determina els valors de $a$ i $b$ sabent que $f(x)$ assoleix el seu màxim a $x = 100$ i que passa pel punt $(49, 91)$.
(b) [5 punts] Donada la funció $g(x) = \dfrac{(x-1)\sqrt{x}}{x^2 - 1}$, indica quin és el seu domini. És $g(x)$ una funció contínua en el seu domini? Justifica la resposta i, en cas negatiu, indica quin tipus de discontinuïtat presenta.

[10 punts] Calcula l'àrea de la superfície compresa entre les corbes $f(x) = 6x - x^2$, $g(x) = x^2 - 2x$ i els seus punts de tall.

El 38% dels habitants d'un poble afirmen que el seu esport preferit és la natació, mentre que el 21% prefereixen el ciclisme i la resta s'inclinen més per altres esports. Si s'escull a l'atzar una persona i, tot seguit, una de diferent, calcula la probabilitat dels següents successos:
(a) [3 punts] Que les dues persones siguin aficionades a la natació.
(b) [3 punts] Que una de les dues persones sigui aficionada al ciclisme i l'altra a la natació.
(c) [4 punts] Sabent que la primera prefereix el ciclisme, que la segona no prefereixi aquest esport.

El pes, en grams, de les mongetes en llauna es distribueix normalment amb mitjana $\mu$ i desviació típica $7{,}8$. Atès que el 10% d'aquestes llaunes contenen menys de 200 g, calcula:
(a) [6 punts] El valor de la mitjana $\mu$ arrodonint-la a les unitats.
(b) [2 punts] El percentatge de llaunes que contenen més de 225 g de mongetes. Nota: empra la mitjana arrodonida a les unitats.
(c) [2 punts] El percentatge de llaunes que contenen entre 190 g i 225 g de mongetes. Nota: empra la mitjana arrodonida a les unitats.