Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2023

Sigui el sistema $$\begin{cases} mx + y - z = 1 \\ 2x + my = 1 \\ x + mz = 0 \end{cases}$$.
(a) [7 punts] Discuteix el nombre de solucions que té el sistema segons el paràmetre $m$.
(b) [3 punts] Resol el sistema per al cas $m = 1$.

Sigui $A$ una matriu invertible $n \times n$ amb coeficients reals tal que compleix la igualtat $A^2 + A = I$.
(a) [3 punts] Satisfà la matriu $$M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ les condicions de l'enunciat? És a dir, compleix $M$ la igualtat de l'enunciat i, a més, és invertible?
Tornant a considerar que $A$ és una matriu qualsevol que satisfà les condicions de l'enunciat,
(b) [3 punts] Calcula la inversa de $A$.
(c) [4 punts] Comprova que se satisfà la igualtat $A(B+A) - I = A(B - I)$, sent $B$ una matriu quadrada qualsevol $n \times n$ amb coeficients reals.

Siguin els punts $A=(1,2,0)$, $B=(-1,0,1)$, $C=(0,0,1)$ i $D=(3,1,2)$.
(a) [4 punts] Determina la recta $r$ que passa per $D$ i és perpendicular al pla que conté els punts $A$, $B$ i $C$.
(b) [4 punts] Determina si els punts $A$, $B$, $C$ i $D$ són coplanaris o no.
(c) [2 punts] És $D$ el punt de tall de la recta amb el pla de l'apartat (a)? Justifica la resposta.

Sigui el pla $\pi: 3x + y + z = 2$ i els punts $P=(0,1,1)$ i $Q=(2,-1,-3)$.
(a) [2 punts] Són $P$ i $Q$ punts del pla $\pi$? Justifica la resposta.
(b) [4 punts] Calcula el punt $S$ situat sobre la recta $PQ$ que es troba a $3/4$ parts de $P$ i $1/4$ part de $Q$.
(c) [4 punts] Determina l'equació implícita (també anomenada cartesiana) de la recta que passa per $P$ i és perpendicular al pla $\pi$.

La reproducció d'un insecte al llarg del temps segueix la funció $f(x) = e^{-x}(2x + 1)$ sent $x \geq 0$ el temps en mesos i $f(x)$ el nombre d'insectes en milions.
(a) [4 punts] Quants milions d'insectes hi havia en l'instant inicial? Cap a on tendeix la quantitat d'insectes al llarg dels anys? Interpreta els resultats.
(b) [4 punts] Quin és el màxim nombre d'insectes que hi arriba a haver? En quin instant de temps s'assoleix aquest valor?
(c) [2 punts] Hi ha algun moment en què la població supera els 2 milions d'insectes? Justifica la resposta.

[10 punts] Calcula la integral de la funció $f(x) = \dfrac{x^4 + 2x - 6}{x^2 + x - 2}$.

En una classe on tots els alumnes practiquen algun esport, el 60% dels alumnes juga a futbol o bàsquet i el 10% practica els dos. Per altra banda, se sap que hi ha un 60% d'alumnes que no juga a futbol.
(a) [3 punts] Sigui $F$ = 'juga a futbol' i sigui $B$ = 'juga a bàsquet', escriu, en termes d'unions, interseccions i complementaris d'aquests dos esdeveniments, les tres probabilitats que indica l'enunciat.
(b) Calcula la probabilitat que, escollint a l'atzar un alumne de la classe,
(b.1) [1 punt] Jugui a futbol.
(b.2) [2 punts] Jugui a bàsquet.
(b.3) [2 punts] Jugui a bàsquet i no a futbol (és a dir, només jugui a bàsquet).
(b.4) [2 punts] No jugui ni a futbol ni a bàsquet.

(a) [5 punts] En un examen de tecnologia, quina és la probabilitat de treure una nota entre 5 i 7 si se sap que les notes segueixen una distribució normal de mitjana 6 i desviació típica 2?
(b) [5 punts] En un examen de filosofia, el 35% dels alumnes presentats varen obtenir una nota major que 6, mentre que el 51% en varen obtenir una menor que 4. Suposant que les notes segueixen una distribució normal, determina quina és la seva mitjana $\mu$ i la seva desviació típica $\sigma$.