Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2022

Sean las matrices: A = ((0,1,1),(1,1,0),(1,0,0)), B = ((6,-3,-4),(-3,2,1),(-4,1,5)), I = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)), y λ un parámetro real cualquiera. (a) Calcule la matriz A − λI. (b) Calcule la matriz (A − λI)². (c) Calcule, si existen, los valores del parámetro λ para los que se satisface la relación (A − λI)² = B.

Considere el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro a: 3x − 2y = 4 ; ay = −3 ; ax + 3z = 0. (a) Discuta el sistema según el parámetro a. (b) Para el valor del parámetro a para el que el sistema tiene solución, resuélvalo.

Considere la función f(x) = e^(3x−2). (a) Determine las coordenadas del punto en el que la tangente a la gráfica de la función y = f(x) tiene pendiente igual a 3/e. Escriba la ecuación de esta recta tangente. (b) Calcule lim_{x→2/3} (1 − f(x))/(6x − 4). (c) Haga un esbozo de la gráfica de la función y = f(x). (d) Calcule el área de la superficie acotada por la gráfica de la función y = f(x) y las rectas x = 0 e y = 1.

Dada la función f(x) = (x²+a)/(2x−4) si x ≤ 0; f(x) = 10x² + x + b si x > 0. (a) Calcule la condición que deben cumplir los parámetros a y b para que la función y = f(x) sea continua. (b) Calcule f'(x). (c) Encuentre la condición y calcule los parámetros a y b para que la función y = f(x) sea derivable.

Del paralelogramo (cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos) ABCD se conocen los vértices consecutivos A(1, 0, −1), B(2, 1, 0) y C(4, 3, −2). (a) Calcule el coseno del ángulo que forman los vectores AB y AC. (b) Calcule las coordenadas del punto medio M del segmento AC. (c) Calcule las coordenadas del vértice D. (d) Calcule el área del paralelogramo ABCD.

Dadas las rectas r ≡ {x + y = 3, 2x − z = 1}, s ≡ {x = 1+λ, y = −λ, z = −4−λ, λ ∈ ℝ}. (a) Calcule una ecuación vectorial para la recta r. (b) Calcule la posición relativa de las rectas r y s. (c) Calcule la ecuación general del plano perpendicular a la recta r que pasa por el punto P(2, 0, −1). (d) Calcule la ecuación general del plano paralelo a la recta r que contiene a la recta s.

Dados dos sucesos A y B, se conocen las probabilidades siguientes: P(A) = 0.7, P(B̄) = 0.4 y P(Ā ∪ B̄) = 0.58, donde Ā y B̄ indican los sucesos contrarios (o complementarios) de A y B, respectivamente. Calcule las probabilidades siguientes: (a) P(Ā), P(B) y P(A ∩ B). ¿Son A y B sucesos independientes? (b) P(A ∪ B). (c) P(B ∩ Ā). (d) P(A/B) y P(Ā/B).

El tiempo de duración de las actualizaciones de un cierto programa antivirus sigue una distribución estadística normal de media 8.8 meses con una desviación típica de 3 meses. (a) ¿Qué porcentaje de las actualizaciones supera los 10 meses? (b) ¿Qué porcentaje de las actualizaciones se ha mantenido entre 7 y 10 meses? (c) ¿Para qué valor del parámetro c se tiene que el intervalo (8.8 − c, 8.8 + c) es el intervalo de tiempo de duración del 98% de las actualizaciones?