Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2025

Antón é un apaixonado deste tipo de calzado, do que ten 60 pares, gardando cada par na súa correspondente caixa. O 80% son zapatillas tradicionais e o 20% zapatillas de deseño. Entre as zapatillas de deseño, o 75% están en bo estado, pero só o 50% das zapatillas tradicionais están en bo estado. Un día que se ergueu co tempo xusto, para non chegar tarde ao traballo, colleu ao azar unha caixa e calzou as zapatillas desa caixa.

Dadas as matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$$ e $$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$.
2.1.1. Que condición ten que cumprir $k$ para que $A$ sexa invertible? Calcule $A^{-1}$ cando sexa posible.
2.1.2. Para $k = 0$, calcule a matriz $X$ que satisfai a igualdade $AX - A = B^2 + A^T$ sendo $A^T$ a trasposta de A.

Discuta, segundo os valores do parámetro $m$, o sistema $$\begin{cases} x + my + z = m, \\ x + (3-m)z = 2m, \\ my + 2z = 3m. \end{cases}$$

3.1.1. Enuncie o teorema do valor medio do cálculo diferencial.
3.1.2. Calcule $\displaystyle\int e^x \cos 3x\, dx$.

Dada a función $$f(x) = \begin{cases} xe^{4x} & \text{se } x < 0 \\ \dfrac{\ln(1+x)}{1+x} & \text{se } x \geq 0 \end{cases}$$, pídese responder ás seguintes cuestións:

Considérense os planos $\pi: 2x + 3y + z + 1 = 0$ e $\pi': x + z - 1 = 0$ e os puntos $A(2,1,0)$ e $B(-1,-2,3)$.
4.1.1. Calcule a distancia do punto $A$ ao plano paralelo a $\pi$ que pasa por $B$.
4.1.2. Obteña as ecuacións paramétricas da recta intersección dos planos $\pi$ e $\pi'$.

Dadas as rectas $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-2}{-1} = \dfrac{z-1}{1}$ e $s: \dfrac{x-2}{4} = \dfrac{y-1}{-2} = \dfrac{z-1}{2}$.