Cálculo de derivadas, derivadas aplicadas a máximos, mínimos, puntos de inflexión y problemas de optimización. Pregunta fija en la selectividad de Matemáticas II en todas las comunidades autónomas. En la PAU se pide derivar funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, aplicando reglas de derivación (cadena, cociente, producto). Los problemas de optimización exigen plantear la función a optimizar a partir de un enunciado geométrico o económico, derivar, encontrar extremos y justificar si es máximo o mínimo con la segunda derivada. El corrector valora especialmente que se justifique la naturaleza del extremo y que las unidades del resultado sean coherentes. Un error frecuente es olvidar el dominio de la función original al buscar extremos. Este bloque conecta directamente con el estudio completo de funciones, ya que derivar es la herramienta central para analizar monotonía y curvatura.
Estudio completo de funciones: dominio, continuidad, asíntotas, monotonía, curvatura, extremos y representación gráfica. Incluye límites y el teorema de Bolzano como herramienta auxiliar. Pregunta clásica de la PAU. En la selectividad de Matemáticas II se pide habitualmente un estudio completo que incluya dominio, simetría, cortes con los ejes, asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión, y finalmente un esbozo de la gráfica. El corrector espera que cada apartado esté justificado analíticamente, no solo enunciado. Los límites en el infinito y el cálculo de indeterminaciones (0/0, infinito/infinito) son pasos previos imprescindibles. Un error habitual es calcular asíntotas oblicuas cuando ya existen horizontales. El teorema de Bolzano aparece para demostrar existencia de raíces en un intervalo. Este bloque se apoya en derivadas y conecta con integrales cuando se pide calcular el área bajo la curva representada.
Cálculo de primitivas (integración por partes, cambio de variable, fracciones simples) y aplicación al cálculo de áreas entre curvas. Pregunta frecuente en la selectividad de Matemáticas II. Los exámenes de la PAU piden habitualmente resolver una integral indefinida eligiendo el método adecuado y luego aplicar la integral definida para hallar el área encerrada entre una función y el eje X, o entre dos funciones. Es fundamental identificar correctamente qué método aplicar: integración por partes para productos de funciones, cambio de variable para composiciones y fracciones simples para funciones racionales. El corrector penaliza no separar las regiones cuando la función cambia de signo, lo que lleva a áreas negativas que se compensan erróneamente. Un consejo clave es dibujar siempre un esbozo rápido de las funciones antes de plantear la integral. Este bloque complementa al de estudio de funciones, ya que muchas veces se pide calcular el área bajo la curva que se acaba de representar.
Operaciones con matrices, cálculo de inversas, propiedades de determinantes, rango, ecuaciones matriciales y espacios vectoriales. Base del bloque de álgebra en selectividad. En la PAU de Matemáticas II aparecen problemas de operaciones matriciales (suma, producto, potencia), cálculo de la inversa por el método de la adjunta o por Gauss-Jordan, y ecuaciones matriciales del tipo AX = B que requieren despejar correctamente usando la inversa. Los determinantes se evalúan mediante desarrollo por adjuntos o por propiedades (filas proporcionales, triangular). El rango de una matriz se determina mediante menores o reducción por Gauss. El corrector valora que se justifique cada paso y que no se invierta una matriz singular. Un error típico es confundir el orden de multiplicación de matrices, ya que el producto no es conmutativo. Este bloque es la base teórica de los sistemas de ecuaciones lineales y aparece también en problemas de geometría al trabajar con coordenadas.
Discusión de sistemas con parámetros (teorema de Rouché-Frobenius), resolución por Gauss y Cramer. Pregunta habitual como parte del bloque de álgebra en la PAU de Matemáticas II. El ejercicio típico presenta un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y un parámetro, y pide discutirlo en función de dicho parámetro aplicando el teorema de Rouché-Frobenius (comparando rangos de la matriz de coeficientes y la ampliada). Después se pide resolver para los valores que dan sistema compatible determinado o indeterminado. El corrector espera que se clasifique correctamente cada caso (compatible determinado, compatible indeterminado, incompatible) y que la resolución se haga de forma ordenada. Un error frecuente es calcular mal el determinante con parámetros o no sustituir correctamente al resolver. La regla de Cramer es útil para sistemas compatibles determinados de orden pequeño. Este bloque depende directamente del conocimiento de matrices y determinantes.
Ecuaciones de rectas y planos, posiciones relativas (paralelas, secantes, cruzadas), producto escalar, vectorial y mixto. Base de la geometría analítica del espacio en selectividad. En la PAU de Matemáticas II se pide pasar entre las distintas formas de la ecuación de la recta (paramétrica, continua, como intersección de planos) y del plano (vectorial, paramétrica, general). Las posiciones relativas entre rectas, entre recta y plano, y entre planos se determinan mediante rangos de matrices o productos vectoriales. El producto escalar se usa para ángulos y proyecciones, el vectorial para obtener vectores perpendiculares y áreas, y el mixto para volúmenes y coplanaridad. El corrector valora que se justifique cada posición relativa con cálculos explícitos. Un error habitual es confundir vector director con vector normal del plano. Este bloque es la primera parte de la geometría del espacio y se completa con el de distancias, ángulos y cónicas.
Cálculo de distancias entre puntos, rectas y planos, ángulos entre rectas y planos, y cónicas (elipse, hipérbola, parábola). Segunda parte habitual de la pregunta de geometría en la PAU. Las distancias se calculan mediante fórmulas específicas (punto-plano, punto-recta, recta-recta) que requieren dominar el producto vectorial y la proyección ortogonal. Los ángulos entre rectas y planos se obtienen con el producto escalar de vectores directores o normales. Las cónicas aparecen en algunas comunidades como ejercicio independiente: identificar la cónica, hallar sus elementos (focos, vértices, ejes) y representarla. El corrector espera que las fórmulas se apliquen correctamente y que se interpreten geométricamente los resultados. Un error frecuente es no tomar el valor absoluto al calcular distancias. Para preparar este bloque conviene dominar primero vectores, rectas y planos, ya que las fórmulas de distancia y ángulo se derivan de los productos escalar y vectorial.