Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2025

Para iluminar una estancia se requiere instalar focos. El tiempo de vida de los focos es una variable normal con media de 2000 horas. Se sabe que, tomando un foco al azar la probabilidad de que luzca más de 1800 horas es $0\text{,}8289$. Calcula: a) la desviación típica de la distribución; b) cuántas horas de vida debe tener un foco para estar en el percentil 90; c) el porcentaje de focos que no tendrán una duración aceptable, considerando como duración aceptable al menos 1600 horas.

Un campo de atletismo de 1 km de perímetro consiste en un rectángulo con un semicírculo en cada uno de dos lados opuestos. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible.

Sea la curva $y = Ax - x^2$, $A \in \mathbb{R}^+$. Determinar el valor de $A$ para que el área encerrada entre la curva $y$ y el eje de abscisas sea 36. Representar la curva.

a) (1,25 puntos) Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$$ y $$B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$$. Halla las matrices $X$ e $Y$ soluciones del sistema $$\begin{cases} 2X - 3Y = A \\ X - Y = B \end{cases}$$.
b) (1,25 puntos) En una fábrica se produce queso y mantequilla. Para fabricar una unidad de queso se precisan 10 unidades de leche y 6 horas de mano de obra. Para la mantequilla, se necesitan 5 unidades de leche y 8 horas de mano de obra por unidad. Sabiendo que tenemos disponibles cada día 100.000 unidades de leche y 110.000 horas de mano de obra, calcular la producción posible de queso y de mantequilla considerando que utilizamos todo lo disponible.

a) (1,25 puntos) Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ y $$B = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 6 & -7 \end{pmatrix}$$, halla las matrices $X$ y $X^{-1}$ tal que $XAX^{-1} = B$.
b) (1,25 puntos) Determina la relación entre $a$ y $b$, con $a, b \in \mathbb{R}$ conocidos, para que el sistema $$\begin{cases} 2x + y - 3z = a \\ -2x - y + 3z = b \end{cases}$$ sea compatible. ¿Puede ser compatible determinado?

a) (1,25 puntos) Dados los planos de ecuaciones $$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + y - z = 4 \\ mx + y + 3z = 6 \\ x - 2x = m \end{cases}$$. Determina el valor del parámetro $m$ para que los planos se corten en un punto. En este caso, determina el punto de corte.
b) (1,25 puntos) Calcula la distancia de la recta $r \equiv \dfrac{x-3}{-1} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z+2}{5}$ al plano $\pi: -x - 3y + z + 4 = 0$.

a) (0,5 puntos) Dado el punto $P \equiv (0, 2, 1)$, halla la ecuación del plano que contiene a $P$ y es paralelo a $\pi \equiv 2x - 5y + z + 3 = 0$.
b) (0,5 puntos) Dado el punto $P \equiv (1, 0, -3)$, halla la ecuación del plano que contiene a $P$ y es perpendicular a la recta $$r \equiv \begin{cases} 5x + y - z = 4 \\ 2x - 2y - z = 5 \end{cases}$$.
c) (1,5 puntos) Calcula la distancia entre las rectas $$r \equiv \begin{cases} x = 5 + \lambda \\ y = -1 \\ z = 8 + 2\lambda \end{cases}$$ y $$s \equiv \begin{cases} x = 2 + 3\mu \\ y = 2 - \mu \\ z = -1 + 4\mu \end{cases}$$.