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Exámenes›Asturias›Matemáticas II›Extraordinaria 2025

Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2025

Q: ¿Cuántos problemas tiene el examen de Matemáticas II Extraordinaria 2025 en Asturias?

Este examen oficial consta de 10 problemas. Bloques: Matrices y sistemas, Matrices y determinantes, Funciones: análisis, Geometría analítica, Geometría: rectas y planos, Funciones: depósito de agua, Geometría: optimización, Probabilidad, Distribución normal.

Asturias10 preguntas100% Resuelto

Pregunta

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Temas de Matemáticas II evaluados en esta convocatoria

#Matrices y sistemas#Matrices y determinantes#Funciones: análisis#Geometría analítica#Geometría: rectas y planos#Funciones: depósito de agua#Geometría: optimización#Probabilidad#Distribución normal

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Solución paso a paso del examen Matemáticas II selectividad Asturias Extraordinaria 2025

Solución paso a paso · Navegable (sin descarga)

Pregunta 1

2,5 puntos(0,75 + 0,75 + 1)

Matrices y sistemas

Matriz con parámetro a: sistema homogéneo y ampliada

Dado

a \in \mathbb{R}

, se considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 \\ -1 & -3 & 2 & 2 \\ a & 3 & 2 & a \end{pmatrix}

Nota: La matriz A es $3 \times 4$ (matriz ampliada de un sistema $3 \times 3$ ).

Encuentre todos los valores de

a

para los cuales el sistema de ecuaciones homogéneo

Ax = \vec{0}

tiene infinitas soluciones. ¿Existe algún valor de

a

para el cual el sistema no tenga solución? Razone sus respuestas.

(0,75 pts)

Suponiendo que

A

es la matriz ampliada de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Calcule los valores de

a

para los cuales el sistema tiene solución única.

(0,75 pts)

Resuelva el sistema homogéneo de apartado a), para

a = 1

, es decir,

Ax = \vec{0}

(1 pto)

Matrices y sistemasMás problemas PAU de Matrices y sistemas

Pregunta 2

2,5 puntos(1 + 0,75 + 0,75)

Matrices y determinantes

Propiedades de matriz M: identidad, valores y determinante

Una matriz

M

verifica que

\det(M) = k

, las siguientes son independientes. Se pide:

Supongamos que la matriz

M

tiene 2 filas y 2 columnas, y que

M^2 = (k-1)I

, siendo

I

la matriz identidad. Calcule todos los valores de

k \in \mathbb{R}

(1 pto)

Supongamos ahora que la matriz

M

tiene 3 filas y 3 columnas. Estudie si existe algún valor de

k

para el que se pueda ser

M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}

(0,75 pts)

Supongamos ahora que el tamaño de

M

3 \times 3

, que

k \neq 0

y que

M = k M^T

. Calcule los posibles valores de

k

\det(M^{-1})

para cada uno de ellos.

(0,75 pts)

Matrices y determinantesMás problemas PAU de Matrices y determinantes

Pregunta 3

2,5 puntos(1,25 + 1,25)

Funciones: análisis

Función f(x): primitiva, área entre curvas

Dada la función

f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}

. Se pide:

Una primitiva de la función

f

que en 5 valga 1.

(1,25 pts)

Calcular el área encerrada entre la gráfica de

f

, el eje

X

y las rectas

x = -1

x = 1

(1,25 pts)

Funciones: análisisMás problemas PAU de Funciones: análisis

Pregunta 4

2,5 puntos(1 + 0,5 + 1)

Funciones: análisis

Primitiva de G(x) y determinación de parámetros

Se sabe que la función

G(x) = \dfrac{x^3}{3} + ax^2 + bx + 5

es una primitiva de una función

g

, donde

a\text{,} b \in \mathbb{R}

son valores desconocidos, pero constantes. Se pide:

Determinar la función

g(x)

en función de los parámetros

a

b

(1 pto)

¿Podría dar la forma de todas las primitivas de

g

en función de una constante

K

(0,5 pts)

Sabiendo que

g(1) = 2

g'(1) = 1

, determinar la función

g

(1 pto)

Funciones: análisisMás problemas PAU de Funciones: análisis

Pregunta 5

2,5 puntos(1 + 1 + 0,5)

Geometría analítica

Puntos, recta perpendicular y distancias

Se consideran los puntos

A(1\text{,}1\text{,}1)

B(-1\text{,}-1\text{,}3)

. Se pide que:

Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto medio de

AB

y es perpendicular a la recta que los contiene.

(1 pto)

Calcule las distancias de

A

B

al plano

\pi

(1 pto)

Verificar que los puntos se encuentran en el mismo semiplano o distinto semiplano del plano

\pi

y compruebe que la distancia es la misma.

(0,5 pts)

Geometría analíticaMás problemas PAU de Geometría analítica

Pregunta 6

2,5 puntos(0,75 + 0,75 + 1)

Geometría: rectas y planos

Recta y plano: paralelismo, perpendicularidad y simetría

Se considera la recta

r: \dfrac{x+y}{2} = \dfrac{y}{f} = z

y el plano

\pi: 2x + y + z = 3

. Se pide:

Calcule, en caso de que exista, el valor de

f \in \mathbb{R}

que hace que

r

\pi

sean paralelos.

(0,75 pts)

Calcule, en caso de que exista, el valor de

f

para que

r

y el plano

\pi

sean perpendiculares.

(0,75 pts)

Para

f = 0

, calcular el simétrico del punto

(-1\text{,}0\text{,}1)

respecto del plano

\pi

(1 pto)

Geometría: rectas y planosMás problemas PAU de Geometría: rectas y planos

Pregunta 7

2,5 puntos(1 + 0,75 + 0,75)

Funciones: depósito de agua

Depósito de agua: máximos, mínimos y volumen

Un depósito tiene una tubería de entrada de agua y un grifo. Se estudia la cantidad de agua del depósito en cada instante

t

a lo largo de 4 horas, teniendo en cuenta que en 4 ocasiones se descarga por la apertura del grifo. Se observa que la cantidad de agua viene dada por la función:

f(t) = 2\cos(t) + t/2 + 10

, donde

t \in (0\text{,} 4)

. Se pide:

Calcular los máximos y mínimos de la función.

(1 pto)

Demostrar que el depósito no se vacía nunca.

(0,75 pts)

Deducir durante cuánto tiempo el depósito está aumentando el volumen de agua durante esas 4 horas.

(0,75 pts)

Funciones: depósito de aguaMás problemas PAU de Funciones: depósito de agua

Pregunta 8

2,5 puntos

Geometría: optimización

Caja sin tapa de capacidad máxima

Se quiere construir una caja sin tapa de forma que tenga dos caras paralelas cuadradas de lado

x

y tres caras rectangulares, dos de ellas paralelas, de lados

x

y

(ver la figura). Si se quiere utilizar

3 \text{ m}^2

de material, calcule los valores de

x

y

para que la capacidad de la caja sea máxima.

Calcule los valores de

x

y

para que la capacidad de la caja sea máxima.

(2,5 pts)

Geometría: optimizaciónMás problemas PAU de Geometría: optimización

Pregunta 9

2,25 puntos(1 + 1,25)

Probabilidad

Monedero: probabilidad clásica y condicionada

Supongamos que tenemos en un monedero 5 monedas de 1 euro, 3 de 2 euros y 2 de 10 céntimos.

Si sacamos 3 monedas al azar del monedero, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una sea de 1 euro?

(1 pto)

Si dejamos las monedas una tras otra (sin reemplazamiento), ¿cuál es la probabilidad de que la segunda sea de 10 céntimos?

(1,25 pts)

Probabilidad también cae en 23 convocatorias másMás problemas PAU de Probabilidad

Pregunta 10

2,5 puntos(0,75 + 0,75 + 1)

Distribución normal

Esperanza de vida: distribución normal

La esperanza de vida de un elefante sigue una distribución normal de media 47 años y desviación típica 30.

¿Qué porcentaje de la población de elefantes se espera que viva más de 100 años?

(0,75 pts)

Si se toma una muestra de 4 elefantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno supere los 100 años de vida?

(0,75 pts)

Calcule un valor

a \in \mathbb{R}

que haga que el 96% de los elefantes tenga una esperanza de vida menor o igual que

a

(1 pto)

Distribución normalMás problemas PAU de Distribución normal

✍ Resuelto por el equipo de Selectividad Academy

Sobre el examen PAU Matemáticas II Asturias Extraordinaria 2025

Esta convocatoria extraordinaria 2025 del examen de Matemáticas II en Asturias consta de 10 problemas. Se evaluaron 9 bloques: Matrices y sistemas, Matrices y determinantes, Funciones: análisis, Geometría analítica, Geometría: rectas y planos, Funciones: depósito de agua, Geometría: optimización, Probabilidad y Distribución normal.