Sea el sistema de ecuaciones lineales {x-y+az=-2; -x+2y-az=3; ax+y+z=2}, donde a es un parámetro real. Obtener: a) [5 pts] El estudio del sistema en función del parámetro a. b) [5 pts] Las soluciones del sistema cuando éste sea compatible.

Se dan las matrices A=[[1,2,0],[-1,1,1],[1,0,1]] y U=I. Obtener: a) [7 pts] Las matrices A⁻¹ y B=3A²-3A³+5A. b) [3 pts] Los valores α y β tales que αA²-βA+U=2A⁻¹.

Se dan las funciones f(x)=x²-x-2 y g(x)=2x-b, con b parámetro real. a) [5 pts] Valor de b para que uno de los puntos de intersección de y=x²-x-2 e y=2x-b sea P=(1,0). Dibujar un esquema de y=x²-x-2 e y=2x-1. b) [5 pts] Área de la superficie finita encerrada entre y=x²-x-2 e y=2x-1.

Una ventana Norman está formada por un rectángulo y un semicírculo apoyado sobre el lado horizontal superior del rectángulo (diámetro = base del rectángulo). Base=x, altura=y, diámetro del semicírculo=x. Obtener: a) [4 pts] Expresión S(x) del área de la ventana de perímetro 5 m. b) [6 pts] Valor de x que maximiza S(x) y el área máxima.

Dadas r: {y-z=0, 2x+2=0} y s: (x-2)/(-1) = y/3 = z+2, obtener: a) [5 pts] Ecuación del plano paralelo a ambas y que pase por el origen. b) [5 pts] Distancia de un punto de r y de un punto de s al plano.

Dadas la recta r: (x-5)/1 = (y-1)/1 = (z+3)/4 y el plano π: ax+y+z=b, con a y b parámetros reales. a) [4 pts] Valores de a para los que r y π se cortan en un único punto y coordenadas de dicho punto en función de a. b) [6 pts] Valores de a y b tales que r esté contenida en π y valores para que r no corte a π.

Una máquina funciona en modo automático el 70% de los días y en modo manual el resto. La probabilidad de fallo en automático es 0.15 y en manual 0.05. a) [5 pts] Probabilidad de que no tenga ningún fallo. b) [5 pts] Si un día tiene un fallo, probabilidad de que haya funcionado en modo manual.

Un usuario de internet sabe que en el 60% de sus compras no tiene ningún problema. Si realiza 8 compras en un día, calcular: a) [4 pts] P(a lo sumo en 6 no tenga problema). b) [3 pts] P(al menos en 4 compras no tenga problema). c) [3 pts] P(no tenga problemas en más de 3 y como máximo en 7 compras).