Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2024

Sea el sistema de ecuaciones lineales x - y + az = -2, -x + 2y - az = 3, ax + y + z = 2, donde a es un parámetro real. Obtener:

Se dan las matrices A = ((1,2,0),(-1,1,1),(1,0,1)) y U = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)). Obtener (con los cálculos intermedios necesarios, así como con la mención explícita de los teoremas o propiedades utilizados):

Se dan las funciones polinómicas f(x) = -x² + x + 2 y g(x) = x² - b, siendo b un parámetro real. Obtener: a) [5 pts.] El valor de b para que uno de los puntos de intersección de las curvas y = -x² + x + 2 e y = x² - b sea el punto P = (-1, 0). Dibujad un esquema de las curvas y = -x² + x + 2 e y = x² - 1. b) [5 pts.] El área de la superficie finita encerrada entre las curvas y = -x² + x + 2 e y = x² - 1.

Una ventana Norman está formada por un rectángulo y un semicírculo. El semicírculo está apoyado sobre el lado horizontal superior del rectángulo, que coincide con el diámetro horizontal del semicírculo. La base del rectángulo mide x y su altura mide y, por lo que el diámetro del semicírculo mide x. Obtener:

Dadas las rectas r: {y - z = 0, 2x + 2 = 0} y s: {(x-2)/(-1) = y/3 = z + 2}, obtener:

Dadas la recta r y el plano π, de ecuaciones r = (x-5)/1 = (y-1)/3 = z/4 y π = ax + y - z = b, con a y b parámetros reales, obtener: a) [4 pts.] Los valores del parámetro a para los que r y π se cortan en un único punto y calcular las coordenadas de dicho punto en función del parámetro a. b) [6 pts.] Los valores de a y b tales que la recta r esté contenida en el plano π y los valores de los parámetros para que la recta r no corte al plano π.

Una máquina funciona en modo automático el 70% de los días y de modo manual el resto de los días. La probabilidad de que tenga un fallo cuando funciona en modo automático es 0,15. La probabilidad de que tenga un fallo cuando funciona en modo manual es 0,05. Obtener: a) [5 pts.] La probabilidad de que no tenga ningún fallo. b) [5 pts.] Si un día tiene un fallo, ¿cuál es la probabilidad de que haya funcionado en modo manual?

Un usuario de internet sabe que en el 60% de las compras que realiza no tiene ningún problema. Si en un día realiza 8 compras, calcular: