Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2024

La empresa «Plátanos Islas Canarias» se dedica a la producción de plátanos. Los costes están dados por $C(x)=\dfrac{3x}{5\sqrt{x^{2}+1}}$, $x\ge 0$, donde $C(x)$ se expresa en miles de € y $x$ en miles de kilos producidos. a) Averiguar el coste de la producción de un kilo de plátanos. b) Si la empresa pudiera producir cantidades muy grandes, ¿a qué valor tenderían los costes? c) Un economista afirma que superada cierta cantidad, el coste de producción disminuirá. Justificar la veracidad de la afirmación. d) Calcular $\int_{0}^{4}C(x)\,dx$ e interpretar el resultado.

Dada la función $f(x)=\dfrac{\ln(x+2)+a}{3x+4}$. a) Determinar el valor de $a$ sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=-1$ es $10$. Dar la expresión de la función. b) Para el valor $a=0$, estudiar el dominio y las asíntotas de $f(x)$.

Resolver el siguiente sistema matricial: $\begin{cases} 5X-4Y=\begin{pmatrix} 5 & 6 & -1 \\ 4 & -5 & 1 \end{pmatrix} \\ 4X-6Y=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 6 & -4 & -2 \end{pmatrix} \end{cases}$

Dado el sistema de ecuaciones lineales con un parámetro $k\in\mathbb{R}$: $\begin{cases} kx+y-3z=5 \\ -x+y+z=-4 \\ kx+y-kz=1 \end{cases}$. a) Discutir la resolución del sistema según los valores del parámetro $k$. b) Resolver el sistema cuando $k=4$.

En el espacio tridimensional tenemos $P(-7,3,4)$, la recta $r:\begin{cases} x+y-1=0 \\ x+z+1=0 \end{cases}$ y el plano $\pi: x+2y-5z+5=0$. a) Encontrar el punto $A$ intersección del plano $\pi$ con una recta $s$ que sea paralela a $r$ y que pase por $P$. b) Hallar el ángulo que forma la recta $r$ y el plano $\pi$.

En el espacio tridimensional se conocen las rectas $r:\begin{cases} 3x+2y-z=1 \\ 2x-y+z+4=0 \end{cases}$ y $s:\begin{cases} x=3+\lambda \\ y=\lambda \\ z=1+\lambda \end{cases}$. a) Estudiar la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. b) Encontrar el plano $\pi$, paralelo a la recta $r$ y que contiene a la recta $s$.

En un avión de pasajeros se han instalado tres paracaídas A, B y C. Si falla A, se pone B en funcionamiento, y si también falla B, se activa el paracaídas C. Las probabilidades de que funcione correctamente cada paracaídas son, respectivamente, 0,96, 0,98 y 0,99. a) Dibujar un diagrama de árbol que refleje todos los posibles casos. b) Calcular la probabilidad de que se active el paracaídas B y funcione correctamente. c) Calcular la probabilidad de que funcione algún paracaídas.

Un juego de ruleta tiene 25 casillas numeradas del 1 al 25. Un jugador gana si sale un número par. a) Si juega 100 veces, calcular la probabilidad de que gane en más de la mitad de las ocasiones. b) Si juega 200 veces, un jugador afirma que la probabilidad de ganar entre 90 y 110 veces es menor que 3/4. Justificar si esta afirmación es cierta o no.