Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2024

E1.- (Álgebra)

Dado el sistema $$\begin{cases} 3x + 2y - z = 1 \\ x - y + 2z = 3 \\ mx + 5y - 4z = -1 \end{cases}$$

a) Estudiar el sistema en función del parámetro $m\in\mathbb{R}$. (1,2 puntos)

b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. (0,8 puntos)

E2.- (Álgebra)

Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}\quad y\quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ -1 & a \end{pmatrix}\ \text{siendo}\ a\in\mathbb{R}.$$

a) Calcular $AB$. (0,5 puntos)

b) Estudiar para qué valores de $a$ la matriz $AB$ tiene inversa, calculándola cuando $a = 1$. (1,5 puntos)

E3.- (Geometría)

Dados el plano $\pi\equiv 2x + y = 3$ y la recta $$r\equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = 1 \end{cases}.$$

a) Hallar la ecuación del plano perpendicular a $\pi$, que contenga a $r$. (1 punto)

b) ¿Existe algún plano paralelo a $\pi$ que contenga a $r$? En caso afirmativo calcularlo. (1 punto)

E4.- (Geometría)

a) Encontrar el valor de $a\in\mathbb{R}$, para que las rectas $$r\equiv\begin{cases} x + y - 5z = -3 \\ -2x + z = 1 \end{cases}\quad y\quad s\equiv x + 1 = \dfrac{y-3}{a} = \dfrac{z}{2}$$ sean paralelas. (1 punto)

b) Si $a = 9$, calcular la ecuación del plano que las contiene. (1 punto)

E5.- (Análisis)

Sea $$f(x) = \begin{cases} x\,e^{x} & \text{si } x < 0 \\ a\cdot \operatorname{sen}(x) + b & \text{si } x \geq 0 \end{cases}.$$ Calcular $a$ y $b$ para que $f$ sea continua y derivable en $0$. (2 puntos)

E6.- (Análisis)

Dada la función $f(x) = e^{x^{2}}$, determinar su dominio de definición, puntos de corte de su gráfica con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica. (2 puntos)

E7.- (Análisis)

Calcular:

a) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos(x^{2}) - 1}{\operatorname{sen}^{2}(x)}$. (1 punto)

b) $\displaystyle\int_{0}^{1} x\,e^{x}\,dx$. (1 punto)

E8.- (Análisis)

Dadas las funciones $f(x) = x$ y $g(x) = x^{3}$:

a) Comprobar que sólo se cortan en $x = -1$, $x = 0$ y $x = 1$. (0,5 puntos)

b) Hallar el área de la parte del plano limitada por las gráficas de dichas funciones. (1,5 puntos)

E9.- (Probabilidad y Estadística)

a) Un mensaje es transmitido con errores con una probabilidad de $0{,}2$. Emitimos de forma independiente 3 mensajes. Calcular la probabilidad de que al menos 2 de los 3 mensajes hayan sido transmitidos con errores. (1 punto)

b) Se consideran los sucesos $A$ y $B$, con $P(A) = \dfrac{1}{3},\ P(B) = \dfrac{1}{5}$ y $P(A\cup B) = \dfrac{1}{2}$. Calcular $P(A\cap B)$ y $P(A/B)$. (1 punto)

E10.- (Probabilidad y Estadística)

Las notas que han obtenido $1000$ opositores siguen una distribución normal de media $4$ y desviación típica $\dfrac{100}{51}$.

a) ¿Cuántos opositores han obtenido una calificación superior a $5$? (1 punto)

b) Sabiendo que los opositores con nota superior a $2$ y por debajo de $5$ formarán la bolsa de empleo, determinar qué porcentaje de opositores ha quedado en esa situación. (1 punto)