Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2025

Problema 1 (APARTADO 1: obligatorio)

a) Dado $k \in \mathbb{R}$, se considera el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} kx - y - z = 1 \\ x + ky + 2kz = k \end{cases}.$$ Discutir el sistema según los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ y resolverlo para $k = -1$. (1,5 puntos)

b) Sea $A$ una matriz cuadrada que verifica $A^{2} = I + 3A$, donde $I$ denota la matriz identidad. Demostrar que el determinante de $A$ no es cero y expresar $A^{-1}$ en función de $A$ y de $I$. (1 punto)

Problema 2A (APARTADO 2)

Sea la función $f(x) = 12x + 3x^{2} - 2x^{3}$.

a) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$ y su recta tangente en el punto $x = 1$. (1,5 puntos)

b) Calcular $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{\ln(1+x^{2})}{x\,f(x)}$, donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano. (1 punto)

Problema 2B (APARTADO 2)

Se considera la función $f(x) = x^{2}\,e^{-x}$.

a) Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas. (1,5 puntos)

b) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función $f$ y el eje de abscisas en el intervalo $[0,2]$. (1 punto)

Problema 3A (APARTADO 3) — (Propuesto en la Comunidad Valenciana, julio de 2023)

Sean el plano $\pi \equiv 5x + m y + z = 2$ y la recta $r \equiv (x,y,z) = (1,1,0) + t(-1,-1,2),\ t\in\mathbb{R}$.

a) Determinar la posición relativa de $r$ y $\pi$ en función de $m$. (1,5 puntos)

b) Para $m=1$, calcular el plano $\pi'$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$. (1 punto)

Problema 3B (APARTADO 3)

Sean el plano $\pi \equiv x + y - z = 2$ y la recta $r \equiv \dfrac{x-1}{-3} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z-2}{-1}$.

a) Calcular la ecuación de un plano $\pi'$ paralelo al plano $\pi$ y que esté a una distancia de $2\sqrt{3}$ unidades de la recta $r$. ¿Es único ese plano? Justificar la respuesta. (1,5 puntos)

b) Calcular la ecuación de un plano $\pi''$ perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por los puntos $P(1,0,1)$ y $Q(0,1,0)$. (1 punto)

Problema 4A (APARTADO 4)

El tamaño de las truchas que hay en el río Tormes, entre el pantano de Santa Teresa y su paso por Fresno Alhándiga, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media 28 cm y desviación típica de 6 cm.

a) Calcular el porcentaje de truchas cuyo tamaño está entre 19 cm y 40 cm. (1,5 puntos)

b) Sabiendo que una de las truchas capturadas medía más de 38 cm, ¿cuál es la probabilidad de que midiera más de 42 cm? (1 punto)

Problema 4B (APARTADO 4)

Un grupo de WhatsApp, formado por los alumnos de un gimnasio de judo, está compuesto por un 55% de mujeres y el resto hombres. Se sabe que el 15% del grupo es cinturón verde y que una quinta parte de las mujeres es cinturón verde.

a) ¿Qué porcentaje de hombres son cinturón verde? (1 punto)

b) Si el grupo recibe un mensaje enviado por un cinturón verde, calcular la probabilidad de que lo haya enviado una mujer. (0,75 puntos)

c) Si el mensaje no tiene información sobre el sexo y el color del cinturón del remitente, calcular la probabilidad de que sea hombre y cinturón verde. (0,75 puntos)