Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2025

Problema 1A (APARTADO 1) — (Propuesto en Extremadura, Modelo 0 de 2025)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} m\,x + 2y + z = 1 \\ 2x + m\,y + z = m \\ 5x + 2y + z = 1 \end{cases}\quad \text{donde } m\in\mathbb{R}.$$

a) Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro $m$, indicando el número de soluciones en cada caso. (1,5 puntos)

b) Resolver, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $m = 3$. (1 punto)

Problema 1B (APARTADO 1)

Se consideran las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$, $$N = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ y $$C = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$$.

a) Calcular la matriz $M = A^{t}A - B B^{t}$, donde $A^{t}$ y $B^{t}$ representan las matrices transpuestas de $A$ y $B$, respectivamente. (1 punto)

b) Hallar la matriz $X$ que cumple la igualdad $X N = C$. (1,5 puntos)

Problema 2 (APARTADO 2: obligatorio)

Se considera la función $f(x) = 2x\,e^{-2x^{2}}$.

a) Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas. (1,5 puntos)

b) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función $f$ y el eje de abscisas en el intervalo $[0,2]$. (1 punto)

Problema 3A (APARTADO 3)

Sean las rectas $r \equiv \dfrac{x}{4} = \dfrac{y-1}{-2} = \dfrac{z}{2}$ y $s \equiv x - 1 = \dfrac{y-m}{m-1} = \dfrac{z-3}{3}$.

a) Comprobar que las rectas $r$ y $s$ se cortan para cualquier valor de $m$. (1,5 puntos)

b) Para $m = 6$ hallar el punto de intersección de las rectas $r$ y $s$. (1 punto)

Problema 3B (APARTADO 3)

Se considera el vector $\vec{u} = (3,-1,5)$.

a) Determinar $a$ para que el vector $\vec{t} = (1, a, 0)$ sea perpendicular a $\vec{u}$. (0,75 puntos)

b) Determinar un vector $\vec{w}$ perpendicular a $\vec{u}=(3,-1,5)$ y $\vec{v} = (2,6,0)$. (0,75 puntos)

c) Dados $\vec{u}=(3,-1,5)$, $\vec{v}=(2,6,0)$ y $\vec{w}=(-3,1,2)$. Determinar el volumen del paralelepípedo definido por los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$. (1 punto)

Problema 4A (APARTADO 4)

Se sabe que la probabilidad de que un autobús de línea regular entre Madrid y Burgos sufra un accidente en día nublado es $0{,}09$ y en día seco $0{,}005$. Durante un periodo de 10 días ha habido 7 días secos y 3 nublados. Sabiendo que se ha producido un accidente en esos días, se pide:

a) Hallar la probabilidad de que fuera en día nublado. (1,25 puntos)

b) Hallar la probabilidad de que fuera en día seco. (1,25 puntos)

Problema 4B (APARTADO 4)

De una urna que contiene cuatro bolas rojas y dos azules, extraemos una bola y, sin devolverla a la urna, extraemos otra a continuación.

a) Hallar la probabilidad de que sean de distinto color. (0,75 puntos)

b) Hallar la probabilidad de que la segunda bola sea azul. (0,75 puntos)

c) Si la segunda bola es azul, hallar la probabilidad de que la primera sea roja. (1 punto)