Sea $A = (a_{ij})$ la matriz de dimensión $3 \times 3$ definida por $a_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = 2, \\ (-1)^j(i-1) & \text{si } i \neq 2. \end{cases}$ Explique si $A$ e $A + I$ son o no invertibles y calcule las inversas cuando existan. (Nota: $a_{ij}$ es el elemento de $A$ que está en la fila $i$ y en la columna $j$, e $I$ es la matriz identidad.)

Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema:
$$\begin{cases} x + 2y = m \\ my + 3z = 1 \\ x + (m+2)y + (m+1)z = m+1 \end{cases}$$

De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos lados sobre los ejes de coordenadas y un vértice sobre la recta $x + 2y = 4$, determine los vértices del que tiene mayor área.

Dada la función $f(x) = \begin{cases} x^2 - x - 1 & \text{si } x \leq 0, \\ -x^2 - x - 1 & \text{si } x > 0, \end{cases}$ calcule el área de la región encerrada por la gráfica de $f$ y las rectas $y = 4x - 7$ e $y = 1$.

a) Obtenga la ecuación implícita del plano $\pi$ que pasa por los puntos $A(1,0,0)$, $B(0,2,0)$ y $C(0,0,3)$.
b) Calcule el punto simétrico de $P(10, -5, 5)$ con respecto al plano $\pi\colon 6x + 3y + 2z - 6 = 0$.

a) Halle el valor de $a$ si el plano $\pi\colon ax + y + z = 0$ es paralelo a la recta $r\colon \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases},\; \lambda \in \mathbb{R}$.
b) Estudie la posición relativa de los planos $\pi_1\colon 2x + y + mz + m = 0$ y $\pi_2\colon (m-1)x + y + 3z = 0$ en función del parámetro $m$.

a) Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral. Calcule $P(A)$ sabiendo que $P(B) = 2P(A)$, $P(A \cap B) = 0{,}1$ y $P(A \cup B) = 0{,}8$.
b) Diga si los sucesos $A$ y $B$ son o no independientes, si se sabe que $P(A) = 0{,}6$, $P(B) = 0{,}3$ y $P(\bar{A} \cup B) = 0{,}82$.

El portador de una cierta enfermedad tiene un 10% de probabilidades de contagiarla a quien no estuvo expuesto a ella. Si entra en contacto con 8 personas que no estuvieron expuestas, calcule:
a) La probabilidad de que contagie a un máximo de 2 personas.
b) La probabilidad de que contagie a 2 personas por lo menos.