Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2021

Un operador turistico vende a las agencias locales viajes concertados al Caribe, Islas Maldivas y Tailandia. A una primera agencia A le vende 10 viajes al Caribe, 10 a las Maldivas y 10 a Tailandia, cobrando por todo ello 12.000 euros. A una segunda agencia B le vende 10 viajes al Caribe y 20 a Tailandia, cobrando por todo ello 13.000 euros. Y a una tercera agencia C le vende 10 viajes al Caribe y 10 a las Maldivas, cobrando por todo ello 7.000 euros. Se pide:
a) Plantea un sistema de ecuaciones que permita calcular el precio del viaje a cada uno de los destinos. Y calcula, si es posible, dicho precio. (1.5 puntos)
b) Si le obligaran a rebajar un 20% el precio del viaje al Caribe dejando los otros iguales, ¿cuanto dinero perderia? (0.5 puntos)
c) ¿Cual seria el precio del viaje a las Islas Maldivas necesario para compensar la bajada del 20% del viaje al Caribe y asi recaudar el mismo dinero? (0.5 puntos)

Sea la matriz $$A = \begin{pmatrix} a & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}$$, $a \in \mathbb{R}$ y $$X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$.
a) Escribe el sistema de ecuaciones $AX = X$ en la forma $BX = 0$. (0.5 puntos)
b) Estudia para que valores de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones. (1 punto)
c) Para $a = 0$ calcula, si existe, la inversa de $A$. (1 punto)

Sean las parabolas $y_1 = x^2 - 2x + 3$ y $y_2 = ax^2 + b$.
a) Calcula los valores de $a$ y $b$ para que en el punto de abscisa $x = 2$ las dos parabolas tengan la misma recta tangente. Calcula dicha recta tangente. (1 punto)
b) Para $a = 1$, $b = 1$ esboza el recinto limitado por las parabolas entre el eje $Y$ y el punto de corte entre ellas. Calcula el area del mismo. (1.5 puntos)

Sean tres numeros reales positivos cuya suma es 80 y uno de ellos es la media de los otros dos. Determina los numeros de forma que el producto entre ellos sea maximo. (2.5 puntos)

Dadas las rectas $r: \dfrac{x+1}{3} = \dfrac{y-1}{-2} = z$ y $$s: \begin{cases} x + 2y = -1 \\ z = 1 \end{cases}$$.
a) Comprueba que las rectas se cruzan. (0.75 puntos)
b) Obtenga el plano $\pi$ que pase por el punto $A$ y sea paralelo a $r$. Halla la distancia entre el punto $P = (-1, 1, 0)$ de la recta $r$ y el plano $\pi$. (1.25 puntos)
c) Calcula la ecuacion del plano que contiene a $r$. (0.5 puntos)

Dados los puntos $A(1, 1, 0)$ y $B(0, 0, 2)$ y la recta $$r: \begin{cases} x = h \\ y = t + h \\ z = t + h \end{cases}$$.
a) Un punto $C \in r$ y otro $E \in r$ con $C \neq E$, determinan los planos $P = (-1, 1, 0)$ y $\pi$. ¿Cual debe ser el valor de $h$ para que $P$ y $\pi$ sean paralelos? (1.25 puntos)
b) Si $h = 1$ ¿pueden cortarse las rectas $r$ y $\overline{AB}$? Si fuera posible, ¿cual seria el punto de corte entre los dos planos del segundo? (1.25 puntos)

Se tiene una nueva con variable aleatoria $X$ que sigue una distribucion normal de media $\mu = 39$ y desviacion tipica $\sigma = 4$.
a) Determina de qué tipo es $X$. (1.5 puntos)
b) Se hace una revision de los datos y se manda la nueva colección con los datos siguientes mantenida la conducción tipica? (1 punto)
(Algunos valores de la funcion de distribucion de la distribucion normal de media 0 y desviacion tipica 1: $F(x) = P(Z \leq x)$, $F(0) = 0{,}5$, $F(0{,}8416) = 0{,}8$, $F(1) = 0{,}8413$, $F(1{,}25) = 0{,}8944$, $F(1{,}375) = 0{,}9154$, $F(1{,}5) = 0{,}9332$, $F(2) = 0{,}9772$.)

Sea $X$ una variable aleatoria con $P(X = 0) = 0{,}6$ y $P(X = 1) = 0{,}4$ (Bernoulli). Se realizan 3 ensayos independientes. Calcula la probabilidad tipica de obtener al menos un 1. (2.5 puntos)