Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2021

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$:

a) [0,75 p.] Determine para qué valores de $a$ el sistema tiene solución única.

b) [1 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.

c) [0,75 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema no tiene solución.

Considere las matrices

a) [1,5 p.] Compruebe que la matriz $A$ es regular (o inversible) y calcule su inversa.

b) [1 p.] Resuelva la ecuación matricial $AX - B = C^t$, donde $C^t$ denota la matriz traspuesta de $C$.

En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a).

Se quiere diseñar una lata de refresco de forma cilíndrica, con tapas inferior y superior. El material para las tapas tiene un coste de $5$ euros cada $\mathrm{cm}^2$ y el material para el resto del cilindro tiene un coste de $3$ euros cada $\mathrm{cm}^2$.

a) [1 p.] Si denotamos por $x$ el radio de las tapas y por $y$ la altura de la lata, demuestre que el coste total del material necesario para construir dicha lata viene dado por $10\pi x^2 + 6\pi xy$.

b) [1,5 p.] Si el volumen de la lata es $90\pi\,\mathrm{cm}^3$, determine sus dimensiones (radio y altura) para que el coste del material sea mínimo.

En este ejercicio las cuestiones a) y b) son totalmente independientes.

a) [1 p.] Calcule $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 1} - x \right)$.

b) [1,5 p.] Calcule la integral indefinida $\displaystyle\int x^2 \ln(x)\,dx$. Determine la primitiva de la función $f(x) = x^2 \ln(x)$ cuya gráfica pasa por el punto de coordenadas $(1, 0)$.

Considere los planos de ecuaciones $\pi_1 : x - y + z = 0$ y $\pi_2 : x + y - z = 2$.

a) [1 p.] Compruebe que los planos se cortan y calcule la ecuación de la recta $r$ determinada por la intersección de ambos planos.

b) [1,5 p.] Compruebe que el punto $A = (3, 2, 1)$ no está en $\pi_1$ ni en $\pi_2$ y calcule la ecuación del plano $\pi_3$ que contiene a la recta $r$ y pasa por el punto $A$.

En este ejercicio las cuestiones a) y b) son totalmente independientes.

Considere los puntos $A = (a, 4, 3)$, $B = (0, 0, 5)$ y $C = (0, 3, -1)$.

a) [1 p.] Calcule los valores de $a$ para los cuales el triángulo $\widehat{ABC}$ tiene un ángulo recto en el vértice $A$.

b) [1,5 p.] Tomando el valor de $a = 3$, determine la ecuación del plano que pasa por los puntos $A$ y $B$ y es paralelo a la recta dada por $$\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + y = 3 \end{cases}$$.

Un estudio revela que el $10\%$ de los hombres son daltónicos y que el $1\%$ de las mujeres son daltónicas. Según los datos de las Naciones Unidas, en el mundo hay actualmente un $50{,}5\%$ de hombres y un $49{,}5\%$ de mujeres. Determine:

a) [1 p.] La probabilidad de que una persona elegida al azar sea daltónica.

b) [1 p.] Si una persona es daltónica, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

c) [0,5 p.] ¿Son independientes los sucesos "ser una persona daltónica" y "ser mujer"?

En este ejercicio trabaje con 4 decimales para las probabilidades.

La velocidad de los vehículos en una autopista con límite de velocidad de $120$ km/h sigue una distribución normal de media $\mu$ km/h y desviación típica $\sigma = 10$ km/h. Se sabe que el $69{,}15\%$ de los vehículos no sobrepasan la velocidad de $130$ km/h.

a) [0,75 p.] Calcule la media de esta distribución.

b) [0,75 p.] ¿Cuál es el porcentaje de vehículos que no sobrepasan la velocidad máxima permitida?

c) [1 p.] La DGT establece una multa de $100$ euros a los vehículos que viajan entre $120$ y $150$ km/h. ¿Cuál es la probabilidad de ser sancionado con dicha multa?