Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2021

PRIMERA PARTE — Ejercicio A1. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro $\alpha$:

Resolver el sistema para $\alpha = 3$, si es posible.

PRIMERA PARTE — Ejercicio B1. Sea la matriz $$A=\begin{pmatrix}2 & 3 & \alpha\\ 1 & \alpha & 1\\ 0 & \alpha & -1\end{pmatrix}.$$

a) Determinar para qué valores del parámetro $\alpha$ la matriz $A$ no tiene inversa.

b) Calcular, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $\alpha=2$.

SEGUNDA PARTE — Ejercicio A2. Sean $r$ la recta que pasa por los puntos $A=(1,a,-1)$ y $B=(b,1{,}1)$ y $\pi$ el plano de ecuación $x+y-2z=2b$.

a) Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta $r$ sea perpendicular al plano $\pi$.

b) Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$.

SEGUNDA PARTE — Ejercicio B2. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $P=(-2,1,0)$ y corta perpendicularmente a la recta $r$ de ecuaciones paramétricas $$\{x=1-2t,\ y=1+t,\ z=t\}.$$Calcular la distancia de $P$ al punto de corte de ambas rectas.

TERCERA PARTE — Ejercicio A3. Estudiar los máximos, los mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)=5+8x^2-x^4$. Representar la gráfica de $f$.

TERCERA PARTE — Ejercicio B3. Sea la función $f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+A$.

a) Obtener los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que la gráfica de $f$ pase por el punto $(0,1)$ y tenga un mínimo en el punto $(1,1)$.

b) ¿La función obtenida tiene otros máximos o mínimos? En caso afirmativo, encontrarlos.

CUARTA PARTE — Ejercicio A4. Sean las funciones: $f(x)=1/x$, $g(x)=x^2$, $h(x)=x^2/8$.

a) Dibujar el recinto finito, en el primer cuadrante, limitado por las gráficas de esas tres funciones.

b) Calcular el área de dicho recinto.

CUARTA PARTE — Ejercicio B4. Calcular, explicando los métodos utilizados,$$I=\int (x+2)\,\sin(2x)\,dx\quad\text{y}\quad J=\int\frac{x+7}{x^2-4x-5}\,dx.$$

QUINTA PARTE — Ejercicio A5. En una farmacia se ha recibido un lote de medicamentos de los tipos A, I y M. El 80 % corresponde al medicamento A, el 10 % al I y el resto al M. En la revisión realizada por la farmacéutica se ha observado que hay medicamentos caducados en los siguientes porcentajes: el 10 % de A, el 20 % de I y el 5 % de M. Se elige una caja de medicamentos al azar. Hallar:

a) La probabilidad de coger un medicamento caducado.

b) Si sabemos que el medicamento está caducado, la probabilidad de que sea del tipo A.

QUINTA PARTE — Ejercicio B5. En una ciudad se han elegido al azar 3900 personas. Hallar:

a) La probabilidad de que al menos 15 de ellas cumplan años el día del patrón de la ciudad.

b) La probabilidad de que el número de personas que cumplan años el día del patrón esté comprendido entre 5 y 15, ambos incluidos.