Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2021

A.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Tres hermanos quieren repartirse de forma equitativa un total de $540$ acciones valoradas en $1560$ euros, que corresponden a tres empresas A, B y C. Sabiendo que el valor actual en bolsa de la acción A es el triple que el de B y la mitad que el de C, que el número de acciones de C es la mitad que el de B y que el actual valor en bolsa de la acción B es $1$ euro, encuentre el número de cada tipo de acción que le corresponde a cada hermano.

A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Calcule el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones
$$f(x) = 2 + x - x^{2},\qquad g(x) = 2x^{2} - 4x.$$

A.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Sean la recta $$r \equiv \begin{cases} -x - y + z = 0 \\ 2x + 3y - z + 1 = 0 \end{cases}$$ y el plano $\pi \equiv 2x + y - z + 3 = 0$. Se pide:
a) (0.75 puntos) Calcular el ángulo que forman $r$ y $\pi$.
b) (1 punto) Hallar el simétrico del punto de intersección de la recta $r$ y el plano $\pi$ con respecto al plano $z - y = 0$.
c) (0.75 puntos) Determinar la proyección ortogonal de la recta $r$ sobre el plano $\pi$.

A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.
El tiempo de vida de los individuos de cierta especie animal tiene una distribución normal con una media de $8.8$ meses y una desviación típica de $3$ meses.
a) (1 punto) ¿Qué porcentaje de individuos de esta especie supera los $10$ meses? ¿Qué porcentaje de individuos ha vivido entre $7$ y $10$ meses?
b) (1 punto) Si se toman al azar $4$ especímenes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno no supere los $10$ meses de vida?
c) (0.5 puntos) ¿Qué valor de $c$ es tal que el intervalo $(8.8 - c,\,8.8 + c)$ incluye el tiempo de vida (medido en meses) del $98\,\%$ de los individuos de esta especie?

B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real $a$:
$$\begin{rcases} ax - 2y + (a-1)z = 4 \\ -2x + 3y - 6z = 2 \\ -ax + y - 6z = 6 \end{rcases}$$
a) (2 puntos) Discuta el sistema según los diferentes valores de $a$.
b) (0.5 puntos) Resuelva el sistema para $a = 1$.

B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Se considera la función
$$f(x) = \begin{cases} \operatorname{sen} x & \text{si } x < 0 \\ x e^{x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$
a) (0.75 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de $f$ en $x = 0$.
b) (1 punto) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$ restringida a $(-\pi, 2)$. Demuestre que existe un punto $x_{0} \in [0, 1]$ de manera que $f(x_{0}) = 2$.
c) (0.75 puntos) Calcule $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{1} f(x)\,dx$.

B.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Sean los planos $\pi_{1} \equiv x + y = 1$ y $\pi_{2} \equiv x + z = 1$.
a) (1.5 puntos) Halle los planos paralelos al plano $\pi_{1}$ tales que su distancia al origen de coordenadas sea $2$.
b) (0.5 puntos) Halle la recta que pasa por el punto $(0, 2, 0)$ y es perpendicular al plano $\pi_{2}$.
c) (0.5 puntos) Halle la distancia entre los puntos de intersección del plano $\pi_{1}$ con los ejes $x$ e $y$.

B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Una estación de medición de calidad del aire mide niveles de $\mathrm{NO}_{2}$ y de partículas en suspensión. La probabilidad de que en un día se mida un nivel de $\mathrm{NO}_{2}$ superior al permitido es $0.16$. En los días en los que se supera el nivel permitido de $\mathrm{NO}_{2}$, la probabilidad de que se supere el nivel permitido de partículas es $0.33$. En los días en los que no se supera el nivel de $\mathrm{NO}_{2}$, la probabilidad de que se supere el nivel de partículas es $0.08$.
a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día se superen los dos niveles permitidos?
b) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que se supere al menos uno de los dos?
c) (0.5 puntos) ¿Son independientes los sucesos "en un día se supera el nivel permitido de $\mathrm{NO}_{2}$" y "en un día se supera el nivel permitido de partículas"?
d) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día se supere el nivel permitido de $\mathrm{NO}_{2}$, sabiendo que no se ha superado el nivel permitido de partículas?