¿Qué entra en el bloque de sistemas de ecuaciones lineales en selectividad?

Entran la resolución de sistemas AX = B por el método de Gauss y por la regla de Cramer, la clasificación mediante el teorema de Rouché-Frobenius (SCD/SCI/SI), la discusión de sistemas con uno o dos parámetros, los sistemas homogéneos AX = 0, y la interpretación geométrica en \mathbb{R}^3 (planos). Es 1 pregunta de 2,5 puntos sobre 10 en casi todas las CCAAs y casi siempre se combina con matrices.

¿En qué orden conviene estudiar este bloque?

Primero domina **matrices y determinantes** (es prerrequisito), después aprende a escribir un sistema en forma matricial AX = B. Luego el método de Gauss (más mecánico) y a continuación Cramer (más rápido si el determinante es sencillo). Por último el teorema de Rouché-Frobenius y la discusión con parámetro — que es donde está la dificultad real del bloque. Cada paso depende del anterior.

¿Cuánto pesa este bloque en la nota de PAU?

Entre 2 y 2,5 puntos sobre 10 en la mayoría de comunidades, lo que supone el 20-25% del examen. Es uno de los bloques más frecuentes (290 problemas históricos) y aparece prácticamente en todas las pruebas. Por estar muy reglado (siempre la misma estructura: discusión + resolución) tiene alta relación esfuerzo/nota si se domina la técnica del Rouché-Frobenius.

¿Cuándo conviene usar Gauss y cuándo Cramer?

Usa **Cramer** cuando el sistema es cuadrado, \det(A) \neq 0 y el determinante es sencillo de calcular: es rápido y permite resolver una sola incógnita sin tocar las demás. Usa **Gauss** cuando el sistema no sea cuadrado, cuando \det(A) = 0 (Cramer no aplica), cuando los coeficientes sean complicados, o cuando quieras resolver TODAS las incógnitas: es más mecánico y comete menos errores de signo. Para discusión con parámetro casi siempre se calcula primero el determinante (Cramer-orientado) y luego se aplica Gauss en los casos críticos.

¿Qué significa SCD, SCI y SI?

**SCD** (Sistema Compatible Determinado) tiene **solución única**: ocurre cuando \text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = n (rangos coinciden y son iguales al número de incógnitas). **SCI** (Sistema Compatible Indeterminado) tiene **infinitas soluciones** dependientes de n - \text{rg}(A) parámetros libres: ocurre cuando \text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) < n. **SI** (Sistema Incompatible) **no tiene solución**: ocurre cuando \text{rg}(A) < \text{rg}(A|B) (la ampliada tiene rango mayor que la de coeficientes). Geométricamente, en \mathbb{R}^3: SCD = punto, SCI = recta o plano de soluciones, SI = planos sin intersección común.

Temario›Matemáticas II›Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

0 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

ClaveAlta — 1 pregunta por examen

¿Qué entra en sistemas de ecuaciones lineales?

Discusión de sistemas con parámetros (teorema de Rouché-Frobenius), resolución por Gauss y Cramer. Pregunta habitual como parte del bloque de álgebra en la PAU de Matemáticas II. El ejercicio típico presenta un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y un parámetro, y pide discutirlo en función de dicho parámetro aplicando el teorema de Rouché-Frobenius (comparando rangos de la matriz de coeficientes y la ampliada). Después se pide resolver para los valores que dan sistema compatible determinado o indeterminado. El corrector espera que se clasifique correctamente cada caso (compatible determinado, compatible indeterminado, incompatible) y que la resolución se haga de forma ordenada. Un error frecuente es calcular mal el determinante con parámetros o no sustituir correctamente al resolver. La regla de Cramer es útil para sistemas compatibles determinados de orden pequeño. Este bloque depende directamente del conocimiento de matrices y determinantes.

Sistemas de ecuaciones lineales en selectividad PAU 2026: guía completa

1 pregunta por examen · 2,0–2,5 puntos · ~20-25% de la nota · 290 problemas históricos

El bloque de sistemas de ecuaciones lineales es uno de los más importantes de la PAU de Matemáticas II y aparece en TODAS las comunidades autónomas como pregunta completa de 2,5 puntos sobre 10. Reúne 290 problemas históricos en la base de datos de selectividad.academy (153 de resolución directa y 137 de discusión con parámetro), lo que lo convierte en uno de los bloques con mayor frecuencia de aparición. La estructura típica de la pregunta presenta un sistema

AX = B

que hay que discutir según un parámetro (clasificar como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) y posteriormente resolverlo en alguno de los casos.

Este bloque se apoya directamente en matrices y determinantes: para discutir se calcula

\det(A)

y se comparan los rangos

\text{rg}(A)

\text{rg}(A|b)

mediante el teorema de Rouché-Frobenius; para resolver se aplica el método de Gauss (eliminación por filas) o la regla de Cramer (cocientes de determinantes cuando

\det(A) \neq 0

). El error que más penaliza el corrector es no comparar rangos con el número de incógnitas: confundir un sistema compatible indeterminado con uno determinado cuando hay más incógnitas que ecuaciones independientes invalida toda la discusión y suele costar entre el 40% y el 60% del apartado.

En esta guía encontrarás la estructura completa del bloque: el orden recomendado para estudiarlo, las fórmulas imprescindibles, una tarjeta-resumen de cada subtema con su URL específica para profundizar, las diferencias por comunidad autónoma y respuestas a las preguntas más frecuentes. Cada subtema enlaza con su página propia donde encontrarás ejercicios PAU reales resueltos paso a paso, trucos del corrector y errores frecuentes.

¿En qué orden estudiar sistemas de ecuaciones lineales?

Cada paso depende del anterior. Sigue este orden para no perder tiempo:

1
Forma matricial y matriz ampliada
Aprende a escribir un sistema en forma $AX = B$ , donde $A$ es la matriz de coeficientes, $X$ el vector de incógnitas y $B$ los términos independientes. La matriz ampliada $(A|B)$ es la herramienta básica para Gauss y para calcular rangos.
2
Método de Gauss (eliminación por filas)
Reduce la matriz ampliada $(A|B)$ a forma escalonada mediante operaciones elementales por filas. Es el método más versátil: sirve para resolver cualquier sistema y para leer el rango directamente del número de filas no nulas.
3
Regla de Cramer
Cuando el sistema es cuadrado ( $n$ ecuaciones, $n$ incógnitas) y $\det(A) \neq 0$ , cada incógnita se calcula como $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$ , donde $A_i$ es $A$ con la columna $i$ sustituida por $B$ . Útil cuando el determinante es sencillo.
4
Teorema de Rouché-Frobenius
Clasifica el sistema comparando $\text{rg}(A)$ , $\text{rg}(A|B)$ y el número de incógnitas $n$ . Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = n$ → SCD; si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) < n$ → SCI; si $\text{rg}(A) < \text{rg}(A|B)$ → SI.
5
Discusión con parámetro
El sistema depende de un parámetro $\lambda, m, a, \ldots$ . Calcula $\det(A)$ en función del parámetro, halla los valores que lo anulan y analiza cada caso: $\det(A) \neq 0$ (SCD), $\det(A) = 0$ (estudiar rangos por menores y por la ampliada). Es el ejercicio tipo PAU.
6
Resolución del sistema en cada caso
Una vez clasificado, resuelve: si SCD por Cramer o Gauss; si SCI parametrizando las soluciones con $t \in \mathbb{R}$ ; si SI indica explícitamente que no hay solución. El corrector espera ver los tres casos cuando aparece un parámetro.

Los 2 subtemas de sistemas de ecuaciones lineales en PAU 🗂

Cada subtema tiene su página propia con fórmulas detalladas, pasos para resolver, errores frecuentes y problemas de exámenes oficiales PAU paso a paso.

Fórmulas clave de sistemas de ecuaciones lineales 📐

Las que aparecen en TODOS los subtemas. Si memorizas solo estas, tienes lo esencial.

Forma matricial del sistema

AX = B \quad \text{con } A \in M_{m \times n}, \ X \in M_{n \times 1}, \ B \in M_{m \times 1}

Teorema de Rouché-Frobenius

\begin{cases} \text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = n & \Rightarrow \text{SCD} \\ \text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) < n & \Rightarrow \text{SCI} \\ \text{rg}(A) < \text{rg}(A|B) & \Rightarrow \text{SI} \end{cases}

Regla de Cramer

x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \quad \text{donde } A_i \text{ es } A \text{ con la columna } i \text{ sustituida por } B

Condición de aplicación de Cramer

\det(A) \neq 0 \iff \text{sistema cuadrado compatible determinado}

Grados de libertad en SCI

\text{nº parámetros libres} = n - \text{rg}(A)

Sistema homogéneo

AX = 0 \Rightarrow \text{siempre compatible (solución trivial } X = 0 \text{)}

¿Cómo evalúa cada CCAA sistemas de ecuaciones lineales? 🌍

Diferencias clave por CCAA: en Andalucía y Madrid la pregunta tipo es un sistema

3 \times 3

con parámetro

a

\lambda

donde hay que discutir los tres casos y resolver al menos en el caso compatible indeterminado, con énfasis en la justificación del teorema de Rouché-Frobenius. En Cataluña los sistemas aparecen integrados con problemas geométricos (intersección de planos), y se valora especialmente la interpretación geométrica del SCI (recta de soluciones) y del SI (planos paralelos). En Galicia y C. Valenciana suelen pedir resolución por Gauss explícita (no Cramer), con todas las operaciones por filas indicadas. En País Vasco y Castilla y León son frecuentes los sistemas con dos parámetros o con coeficientes complicados que exigen factorización del determinante para identificar los casos críticos. En Murcia y Aragón se ven mucho sistemas homogéneos con parámetro donde hay que hallar valores que dan solución no trivial. Para una comparación detallada de cómo evalúa cada comunidad este bloque, consulta nuestro artículo del blog Diferencias selectividad Matemáticas II por CCAA.

Preguntas frecuentes sobre sistemas de ecuaciones lineales en PAU 💬

¿Qué entra en el bloque de sistemas de ecuaciones lineales en selectividad?: Entran la resolución de sistemas $AX = B$ por el método de Gauss y por la regla de Cramer, la clasificación mediante el teorema de Rouché-Frobenius (SCD/SCI/SI), la discusión de sistemas con uno o dos parámetros, los sistemas homogéneos $AX = 0$ , y la interpretación geométrica en $\mathbb{R}^3$ (planos). Es 1 pregunta de 2,5 puntos sobre 10 en casi todas las CCAAs y casi siempre se combina con matrices.
¿En qué orden conviene estudiar este bloque?: Primero domina matrices y determinantes (es prerrequisito), después aprende a escribir un sistema en forma matricial $AX = B$ . Luego el método de Gauss (más mecánico) y a continuación Cramer (más rápido si el determinante es sencillo). Por último el teorema de Rouché-Frobenius y la discusión con parámetro — que es donde está la dificultad real del bloque. Cada paso depende del anterior.
¿Cuánto pesa este bloque en la nota de PAU?: Entre 2 y 2,5 puntos sobre 10 en la mayoría de comunidades, lo que supone el 20-25% del examen. Es uno de los bloques más frecuentes (290 problemas históricos) y aparece prácticamente en todas las pruebas. Por estar muy reglado (siempre la misma estructura: discusión + resolución) tiene alta relación esfuerzo/nota si se domina la técnica del Rouché-Frobenius.
¿Cuándo conviene usar Gauss y cuándo Cramer?: Usa Cramer cuando el sistema es cuadrado, $\det(A) \neq 0$ y el determinante es sencillo de calcular: es rápido y permite resolver una sola incógnita sin tocar las demás. Usa Gauss cuando el sistema no sea cuadrado, cuando $\det(A) = 0$ (Cramer no aplica), cuando los coeficientes sean complicados, o cuando quieras resolver TODAS las incógnitas: es más mecánico y comete menos errores de signo. Para discusión con parámetro casi siempre se calcula primero el determinante (Cramer-orientado) y luego se aplica Gauss en los casos críticos.
¿Qué significa SCD, SCI y SI?: SCD (Sistema Compatible Determinado) tiene solución única: ocurre cuando $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = n$ (rangos coinciden y son iguales al número de incógnitas). SCI (Sistema Compatible Indeterminado) tiene infinitas soluciones dependientes de $n - \text{rg}(A)$ parámetros libres: ocurre cuando $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) < n$ . SI (Sistema Incompatible) no tiene solución: ocurre cuando $\text{rg}(A) < \text{rg}(A|B)$ (la ampliada tiene rango mayor que la de coeficientes). Geométricamente, en $\mathbb{R}^3$ : SCD = punto, SCI = recta o plano de soluciones, SI = planos sin intersección común.