¿Qué entra en el bloque de distancias, ángulos y cónicas en selectividad?

Entran las distancias en el espacio (punto-plano, punto-recta, recta-recta cruzadas usando producto mixto), los ángulos (entre dos rectas, entre dos planos, recta-plano), y opcionalmente las cónicas no degeneradas (elipse, hipérbola, parábola) según la CCAA. Es 1 apartado de 1,0–1,5 puntos sobre 10 en la mayoría de comunidades, complementario al apartado base de geometría con vectores.

¿En qué orden estudiar este bloque?

Empieza por los productos vectoriales (escalar, vectorial, mixto) → distancia punto-plano (la más frecuente) → distancia punto-recta → distancia recta-recta cruzadas (la más técnica, usa producto mixto) → ángulos en los tres casos. Las cónicas solo si tu CCAA las incluye (sobre todo Cataluña). Cada técnica depende de la anterior: sin productos no hay distancias, sin distancias no se entiende la idea geométrica que motiva los ángulos.

¿Cuánto pesa este bloque en la nota de PAU?

Entre 1 y 1,5 puntos sobre 10 en la mayoría de comunidades. No suele ser pregunta completa: aparece como **segundo o tercer apartado** dentro de la pregunta de geometría (la pregunta base es de vectores/rectas/planos, y este bloque añade el cálculo de la distancia o el ángulo que se pide). En Cataluña, si entra una cónica, esa pregunta suma 1,0 punto extra.

¿Las cónicas entran en selectividad?

Depende de la CCAA. En **Cataluña** aparecen con cierta frecuencia (identificación + parámetros: focos, vértices, excentricidad, asíntotas en hipérbolas). En **la mayoría del resto** de CCAAs no entran o aparecen solo de forma muy esporádica. Si tu CCAA es Cataluña, dedica una sesión a las tres cónicas no degeneradas; si no, prioriza distancias y ángulos en el espacio.

¿Por qué hay valor absoluto en las fórmulas de distancia?

Porque las distancias son **siempre positivas** por definición geométrica. La expresión Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D puede ser negativa según en qué semiespacio esté el punto P respecto al plano \pi. El valor absoluto |\cdot| garantiza que el resultado sea no negativo. Lo mismo ocurre con el producto mixto en la distancia entre rectas cruzadas: el signo del determinante depende de la orientación, pero la distancia geométrica no.

Temario›Matemáticas II›Distancias, ángulos y cónicas

Distancias, ángulos y cónicas

0 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

ClaveAlta — complementa la pregunta de geometría

¿Qué entra en distancias, ángulos y cónicas?

Cálculo de distancias entre puntos, rectas y planos, ángulos entre rectas y planos, y cónicas (elipse, hipérbola, parábola). Segunda parte habitual de la pregunta de geometría en la PAU. Las distancias se calculan mediante fórmulas específicas (punto-plano, punto-recta, recta-recta) que requieren dominar el producto vectorial y la proyección ortogonal. Los ángulos entre rectas y planos se obtienen con el producto escalar de vectores directores o normales. Las cónicas aparecen en algunas comunidades como ejercicio independiente: identificar la cónica, hallar sus elementos (focos, vértices, ejes) y representarla. El corrector espera que las fórmulas se apliquen correctamente y que se interpreten geométricamente los resultados. Un error frecuente es no tomar el valor absoluto al calcular distancias. Para preparar este bloque conviene dominar primero vectores, rectas y planos, ya que las fórmulas de distancia y ángulo se derivan de los productos escalar y vectorial.

Distancias, ángulos y cónicas en selectividad PAU 2026: guía completa

1 apartado complementario · 1,0–1,5 puntos · ~10-15% de la nota · 49 problemas históricos · pregunta acoplada a vectores

El bloque de distancias, ángulos y cónicas es la parte aplicada de la geometría analítica en la PAU de Matemáticas II. Reúne 49 problemas históricos en la base de datos de selectividad.academy (45 de distancias y ángulos en el espacio + 4 de cónicas) y aparece de forma sistemática como segunda parte de la pregunta de geometría, complementaria al bloque de vectores. La estructura típica del ejercicio plantea primero la determinación de una recta o un plano (apartado a) y a continuación pide una distancia (punto-plano, punto-recta, recta-recta cruzadas) o un ángulo (entre rectas, entre planos, recta-plano) en los apartados b y c.

Este bloque depende directamente de vectores (productos escalar, vectorial y mixto son las herramientas de cálculo) y de rectas y planos (sin saber expresar una recta o un plano no se pueden calcular las distancias). El error que más penaliza el corrector es olvidar el valor absoluto en las fórmulas de distancia: tanto

d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

como la distancia entre rectas cruzadas con el producto mixto exigen valor absoluto en el numerador, porque las distancias son siempre positivas. Saltarse este detalle puede invalidar el apartado entero.

En esta guía encontrarás la estructura completa del bloque: el orden recomendado para estudiarlo, las fórmulas imprescindibles, una tarjeta-resumen de cada subtema con su URL específica para profundizar, las diferencias por comunidad autónoma, y respuestas a las preguntas más frecuentes. Cada subtema enlaza con su página propia donde encontrarás ejercicios PAU reales resueltos paso a paso, trucos del corrector y errores frecuentes.

¿En qué orden estudiar distancias, ángulos y cónicas?

Cada paso depende del anterior. Sigue este orden para no perder tiempo:

1
Repasa productos escalar, vectorial y mixto
Sin estos tres productos no se puede calcular ninguna distancia ni ángulo. Escalar ( $\vec{u}\cdot\vec{v}$ ) da ángulos y proyecciones. Vectorial ( $\vec{u}\times\vec{v}$ ) da vectores perpendiculares y áreas. Mixto ( $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$ ) da volúmenes y detecta vectores coplanarios.
2
Distancia de un punto a un plano
Es la fórmula más recurrente del bloque. $d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ . Plano en forma general, valor absoluto en el numerador, módulo del vector normal en el denominador.
3
Distancia de un punto a una recta
Producto vectorial entre el vector director y el vector $\overrightarrow{AP}$ , dividido por el módulo del director: $d(P, r) = \frac{|\vec{v}\times\overrightarrow{AP}|}{|\vec{v}|}$ . Geométricamente: el área del paralelogramo dividida por la base.
4
Distancia entre rectas cruzadas (producto mixto)
Para dos rectas no coplanarias: $d(r,s) = \frac{|[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \overrightarrow{AB}]|}{|\vec{v_r}\times\vec{v_s}|}$ . Antes de aplicar la fórmula comprueba que las rectas SON cruzadas (no paralelas ni secantes) — si no, la fórmula no aplica.
5
Ángulos: rectas, planos, recta-plano
Tres casos con sus fórmulas: rectas con coseno de directores, planos con coseno de normales, recta-plano con seno del director y la normal. Atención al valor absoluto para garantizar el ángulo agudo $[0, \pi/2]$ .

Los 2 subtemas de distancias, ángulos y cónicas en PAU 🗂

Cada subtema tiene su página propia con fórmulas detalladas, pasos para resolver, errores frecuentes y problemas de exámenes oficiales PAU paso a paso.

Fórmulas clave de distancias, ángulos y cónicas 📐

Las que aparecen en TODOS los subtemas. Si memorizas solo estas, tienes lo esencial.

Distancia punto-plano

d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

Distancia punto-recta

d(P, r) = \frac{|\vec{v}\times\overrightarrow{AP}|}{|\vec{v}|}

Distancia entre rectas cruzadas

d(r, s) = \frac{\left|[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \overrightarrow{AB}]\right|}{|\vec{v_r}\times\vec{v_s}|}

Ángulo entre dos rectas

\cos\alpha = \frac{|\vec{v_r}\cdot\vec{v_s}|}{|\vec{v_r}|\cdot|\vec{v_s}|}

Ángulo recta-plano (seno de la normal)

\sin\alpha = \frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\cdot|\vec{n}|}

Elipse de ejes paralelos a los coordenados

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad c^2 = a^2 - b^2 \ (a>b)

¿Cómo evalúa cada CCAA distancias, ángulos y cónicas? 🌍

Diferencias clave por CCAA: en Andalucía y Madrid la distancia más recurrente es punto-plano + ángulo recta-plano, en problemas combinados con vectores. En Galicia y C. Valenciana suelen pedir distancia entre rectas cruzadas con producto mixto (apartado de 1 punto). En Cataluña la geometría analítica del plano incluye cónicas con cierta frecuencia: identificación de elipse/hipérbola/parábola desde la ecuación reducida y cálculo de focos, vértices y excentricidad. En el resto de CCAAs (País Vasco, Castilla y León, Murcia, Aragón) las cónicas casi no aparecen — el esfuerzo de preparación se concentra en distancias y ángulos en el espacio. Murcia y Aragón valoran especialmente el esbozo de la situación geométrica antes de aplicar fórmulas. Para una comparación detallada de cómo evalúa cada comunidad este bloque, consulta nuestro artículo del blog Diferencias selectividad Matemáticas II por CCAA.

Preguntas frecuentes sobre distancias, ángulos y cónicas en PAU 💬

¿Qué entra en el bloque de distancias, ángulos y cónicas en selectividad?: Entran las distancias en el espacio (punto-plano, punto-recta, recta-recta cruzadas usando producto mixto), los ángulos (entre dos rectas, entre dos planos, recta-plano), y opcionalmente las cónicas no degeneradas (elipse, hipérbola, parábola) según la CCAA. Es 1 apartado de 1,0–1,5 puntos sobre 10 en la mayoría de comunidades, complementario al apartado base de geometría con vectores.
¿En qué orden estudiar este bloque?: Empieza por los productos vectoriales (escalar, vectorial, mixto) → distancia punto-plano (la más frecuente) → distancia punto-recta → distancia recta-recta cruzadas (la más técnica, usa producto mixto) → ángulos en los tres casos. Las cónicas solo si tu CCAA las incluye (sobre todo Cataluña). Cada técnica depende de la anterior: sin productos no hay distancias, sin distancias no se entiende la idea geométrica que motiva los ángulos.
¿Cuánto pesa este bloque en la nota de PAU?: Entre 1 y 1,5 puntos sobre 10 en la mayoría de comunidades. No suele ser pregunta completa: aparece como segundo o tercer apartado dentro de la pregunta de geometría (la pregunta base es de vectores/rectas/planos, y este bloque añade el cálculo de la distancia o el ángulo que se pide). En Cataluña, si entra una cónica, esa pregunta suma 1,0 punto extra.
¿Las cónicas entran en selectividad?: Depende de la CCAA. En Cataluña aparecen con cierta frecuencia (identificación + parámetros: focos, vértices, excentricidad, asíntotas en hipérbolas). En la mayoría del resto de CCAAs no entran o aparecen solo de forma muy esporádica. Si tu CCAA es Cataluña, dedica una sesión a las tres cónicas no degeneradas; si no, prioriza distancias y ángulos en el espacio.
¿Por qué hay valor absoluto en las fórmulas de distancia?: Porque las distancias son siempre positivas por definición geométrica. La expresión $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D$ puede ser negativa según en qué semiespacio esté el punto $P$ respecto al plano $\pi$ . El valor absoluto $|\cdot|$ garantiza que el resultado sea no negativo. Lo mismo ocurre con el producto mixto en la distancia entre rectas cruzadas: el signo del determinante depende de la orientación, pero la distancia geométrica no.