¿Qué entra en el bloque de integrales y áreas en selectividad?

Entran cálculo de primitivas por los métodos básicos (inmediatas, cambio de variable, integración por partes, fracciones simples), integral definida con la regla de Barrow, y aplicación al cálculo de áreas planas (entre curva y eje, entre dos curvas, regiones cerradas). Es una pregunta de 2,5 puntos sobre 10 en casi todas las comunidades.

¿En qué orden conviene estudiar integrales?

Primero tabla de primitivas inmediatas, luego cambio de variable (el método más frecuente), después integración por partes con la regla LIATE, y por último fracciones simples para integrales racionales. Una vez dominados los métodos, pasa a integral definida (Barrow) y aplica a áreas planas. Cada bloque depende del anterior.

¿Cuánto pesa este bloque en la nota de PAU?

Entre 2 y 2,5 puntos sobre 10 en la mayoría de comunidades, lo que supone el 20-25% del examen. Es el bloque con más problemas históricos (432) y aparece en TODAS las pruebas. Por ser parcialmente mecánico (cálculo de primitivas) tiene alta relación esfuerzo/nota si se dominan los cuatro métodos básicos.

¿Es lo mismo integral definida que área?

No. La integral definida \int_a^b f(x)\,dx devuelve un número con signo: positivo donde f > 0 y negativo donde f < 0. El **área** es siempre positiva, por eso se calcula con valor absoluto: A = \int_a^b |f(x)|\,dx. Si f cambia de signo en [a,b] hay que partir el intervalo por los cortes y sumar valores absolutos.

¿Qué método elegir cuando no sé por dónde empezar?

Sigue este orden: (1) ¿es inmediata o casi-inmediata? (2) ¿hay un patrón f(g(x))\cdot g'(x)? → cambio de variable. (3) ¿es producto de tipos distintos (logaritmo·polinomio, exponencial·polinomio, trig·polinomio)? → partes con LIATE. (4) ¿es cociente de polinomios? → fracciones simples. Casi todo PAU entra en uno de estos cuatro.

Temario›Matemáticas II›Integrales y cálculo de áreas

Integrales y cálculo de áreas

Q: ¿Qué método elegir cuando no sé por dónde empezar?

Sigue este orden: (1) ¿es inmediata o casi-inmediata? (2) ¿hay un patrón f(g(x))\cdot g'(x)? → cambio de variable. (3) ¿es producto de tipos distintos (logaritmo·polinomio, exponencial·polinomio, trig·polinomio)? → partes con LIATE. (4) ¿es cociente de polinomios? → fracciones simples. Casi todo PAU entra en uno de estos cuatro.

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ClaveAlta — 1 pregunta por examen

¿Qué entra en integrales y cálculo de áreas?

Cálculo de primitivas (integración por partes, cambio de variable, fracciones simples) y aplicación al cálculo de áreas entre curvas. Pregunta frecuente en la selectividad de Matemáticas II. Los exámenes de la PAU piden habitualmente resolver una integral indefinida eligiendo el método adecuado y luego aplicar la integral definida para hallar el área encerrada entre una función y el eje X, o entre dos funciones. Es fundamental identificar correctamente qué método aplicar: integración por partes para productos de funciones, cambio de variable para composiciones y fracciones simples para funciones racionales. El corrector penaliza no separar las regiones cuando la función cambia de signo, lo que lleva a áreas negativas que se compensan erróneamente. Un consejo clave es dibujar siempre un esbozo rápido de las funciones antes de plantear la integral. Este bloque complementa al de estudio de funciones, ya que muchas veces se pide calcular el área bajo la curva que se acaba de representar.

Integrales y cálculo de áreas en selectividad PAU 2026: guía completa

1 pregunta por examen · 2,0–2,5 puntos · ~20-25% de la nota · 432 problemas históricos

El bloque de integrales y cálculo de áreas es uno de los pilares de la PAU de Matemáticas II y aparece en TODAS las comunidades autónomas como pregunta completa de 2,5 puntos sobre 10. Reúne 432 problemas históricos en la base de datos de selectividad.academy, lo que lo convierte en el bloque con mayor frecuencia de aparición del examen junto con derivadas. La estructura típica de la pregunta combina cálculo de una primitiva (por partes, cambio de variable o fracciones simples) con la aplicación geométrica de hallar el área de una región plana mediante integrales definidas.

Este bloque cierra el bloque grande de análisis: depende de derivadas (toda primitiva es una antiderivada) y conecta con estudio de funciones porque calcular un área exige conocer cortes con el eje, signo de la función y simetrías. El error que más penaliza el corrector es no separar la región por signo: cuando

f(x)

cambia de signo en

[a,b]

y se calcula

\int_a^b f(x)\,dx

directamente, las áreas positivas y negativas se cancelan y el resultado numérico no es el área real. Conviene siempre dibujar un esbozo previo.

En esta guía encontrarás la estructura completa del bloque: el orden recomendado para estudiarlo, las fórmulas imprescindibles, una tarjeta-resumen de cada subtema con su URL específica para profundizar, las diferencias por comunidad autónoma, y respuestas a las preguntas más frecuentes. Cada subtema enlaza con su página propia donde encontrarás ejercicios PAU reales resueltos paso a paso, trucos del corrector y errores frecuentes.

¿En qué orden estudiar integrales y cálculo de áreas?

Cada paso depende del anterior. Sigue este orden para no perder tiempo:

1
Primitivas inmediatas y tabla básica
Memoriza la tabla de primitivas inmediatas (potencias, exponenciales, logaritmos, trigonométricas, $\frac{1}{1+x^2}$ , $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ). Sin esta base no se puede aplicar ningún método más avanzado.
2
Cambio de variable
Sustitución $t = g(x)$ , $dt = g'(x)\,dx$ . Es el método más usado: aproximadamente el 40% de las integrales PAU se resuelven con un cambio bien elegido. Detecta el patrón $f(g(x))\cdot g'(x)$ .
3
Integración por partes
Fórmula $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ . Aplica la regla mnemotécnica LIATE/ILATE (Logarítmica, Inversa trig., Algebraica, Trigonométrica, Exponencial) para elegir $u$ . Aparece en casi todos los exámenes con $x\cdot e^x$ , $x\cdot \ln x$ , $x\cdot \sin x$ .
4
Fracciones simples (racionales)
Descomposición de $\frac{P(x)}{Q(x)}$ en fracciones simples cuando $\deg P < \deg Q$ y $Q$ se factoriza en reales. Si $\deg P \geq \deg Q$ haz primero la división polinómica. Aparece sobre todo en C. Valenciana y Galicia.
5
Integral definida y regla de Barrow
Una vez sabes calcular primitivas: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ . Atención al signo de la función dentro del intervalo — si cambia de signo, el resultado NO es el área.
6
Cálculo de áreas planas
Área entre curva y eje OX: $A = \int_a^b |f(x)|\,dx$ . Área entre dos curvas: $A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$ . Pasos: cortes, signo, esbozo, separar por tramos.

Los 2 subtemas de integrales y cálculo de áreas en PAU 🗂

Cada subtema tiene su página propia con fórmulas detalladas, pasos para resolver, errores frecuentes y problemas de exámenes oficiales PAU paso a paso.

Fórmulas clave de integrales y cálculo de áreas 📐

Las que aparecen en TODOS los subtemas. Si memorizas solo estas, tienes lo esencial.

Integración por partes

\int u\,dv = uv - \int v\,du

Cambio de variable

\int f(g(x))\cdot g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt \quad \text{con } t = g(x)

Regla de Barrow

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \quad \text{con } F'(x) = f(x)

Área entre curva y eje OX

A = \int_a^b |f(x)|\,dx

Área entre dos curvas

A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx

Fracción simple (raíz real simple)

\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}

¿Cómo evalúa cada CCAA integrales y cálculo de áreas? 🌍

Diferencias clave por CCAA: en Andalucía y Madrid suele caer una primitiva por partes o cambio de variable + área entre dos curvas, en preguntas separadas. En Cataluña las integrales aparecen integradas en problemas de optimización geométrica (áreas y volúmenes). En Galicia y C. Valenciana son frecuentes las fracciones simples con denominadores cuadráticos, y exigen división polinómica previa. En País Vasco y Castilla y León valoran especialmente el esbozo previo y la justificación del signo en cálculo de áreas. En Murcia y Aragón se ven mucho áreas entre curvas con corte trigonométrico (

\sin x

\cos x

). Para una comparación detallada de cómo evalúa cada comunidad este bloque, consulta nuestro artículo del blog Diferencias selectividad Matemáticas II por CCAA.

Preguntas frecuentes sobre integrales y cálculo de áreas en PAU 💬

¿Qué entra en el bloque de integrales y áreas en selectividad?: Entran cálculo de primitivas por los métodos básicos (inmediatas, cambio de variable, integración por partes, fracciones simples), integral definida con la regla de Barrow, y aplicación al cálculo de áreas planas (entre curva y eje, entre dos curvas, regiones cerradas). Es una pregunta de 2,5 puntos sobre 10 en casi todas las comunidades.
¿En qué orden conviene estudiar integrales?: Primero tabla de primitivas inmediatas, luego cambio de variable (el método más frecuente), después integración por partes con la regla LIATE, y por último fracciones simples para integrales racionales. Una vez dominados los métodos, pasa a integral definida (Barrow) y aplica a áreas planas. Cada bloque depende del anterior.
¿Cuánto pesa este bloque en la nota de PAU?: Entre 2 y 2,5 puntos sobre 10 en la mayoría de comunidades, lo que supone el 20-25% del examen. Es el bloque con más problemas históricos (432) y aparece en TODAS las pruebas. Por ser parcialmente mecánico (cálculo de primitivas) tiene alta relación esfuerzo/nota si se dominan los cuatro métodos básicos.
¿Es lo mismo integral definida que área?: No. La integral definida $\int_a^b f(x)\,dx$ devuelve un número con signo: positivo donde $f > 0$ y negativo donde $f < 0$ . El área es siempre positiva, por eso se calcula con valor absoluto: $A = \int_a^b |f(x)|\,dx$ . Si $f$ cambia de signo en $[a,b]$ hay que partir el intervalo por los cortes y sumar valores absolutos.
¿Qué método elegir cuando no sé por dónde empezar?: Sigue este orden: (1) ¿es inmediata o casi-inmediata? (2) ¿hay un patrón $f(g(x))\cdot g'(x)$ ? → cambio de variable. (3) ¿es producto de tipos distintos (logaritmo·polinomio, exponencial·polinomio, trig·polinomio)? → partes con LIATE. (4) ¿es cociente de polinomios? → fracciones simples. Casi todo PAU entra en uno de estos cuatro.