¿Qué entra en el bloque de vectores, rectas y planos en selectividad?

Entran operaciones con vectores en \mathbb{R}^3 (suma, módulo, dependencia lineal), los tres productos (escalar, vectorial y mixto) con sus aplicaciones geométricas (ángulos, proyecciones, áreas, volúmenes, coplanaridad), las ecuaciones de la recta (vectorial, paramétrica, continua, implícita) y del plano (general, vectorial, segmentaria), y la discusión de posiciones relativas recta-recta, recta-plano y plano-plano. Es 1 pregunta completa de 2,5 puntos sobre 10 en casi todas las CCAAs.

¿En qué orden conviene estudiar vectores, rectas y planos?

Primero domina los **vectores** (operaciones, módulo, dependencia lineal). Sigue con los **tres productos** (escalar, vectorial, mixto) y sus aplicaciones. Después aprende las **ecuaciones de la recta** (las cuatro formas y cómo pasar de una a otra). Luego las **ecuaciones del plano** identificando el vector normal. Por último estudia las **posiciones relativas**, que combinan todo lo anterior. Cada paso depende del anterior — saltarse vectores hace imposible lo demás.

¿Cuánto pesa este bloque en la nota de PAU?

Entre 2 y 2,5 puntos sobre 10 en la mayoría de comunidades, lo que supone el 20-25% del examen. Es el bloque con más problemas históricos (381) junto con análisis y aparece en TODAS las pruebas. Tiene además alta relación esfuerzo/nota: una vez memorizadas las fórmulas y el método de rangos, los ejercicios son sistemáticos y se resuelven con técnica casi mecánica.

¿Cuál es la diferencia entre vector director y vector normal?

El **vector director** \vec{v} de una recta marca **la dirección** en la que se extiende la recta — es paralelo a ella. El **vector normal** \vec{n} de un plano es **perpendicular** al plano. Cuando una recta de director \vec{v} es paralela a un plano de normal \vec{n}, se cumple \vec{v}\cdot\vec{n} = 0 (porque el director está dentro del plano). Cuando es perpendicular al plano, \vec{v} y \vec{n} son paralelos. Confundirlos es el error que más penaliza en este bloque.

¿Por rangos o por productos vectoriales para discutir posiciones relativas?

Ambos métodos son válidos y aceptados por el corrector. **Por rangos** (matriz de coeficientes vs. ampliada con el teorema de Rouché-Frobenius) es más sistemático, conecta con álgebra y es preferido en País Vasco, Castilla y León y problemas con parámetro. **Por productos vectoriales** (paralelismo si \vec{v}\times\vec{w} = \vec{0}, secancia si no son paralelos pero el sistema tiene solución) es más rápido en problemas concretos sin parámetro. Domina los dos: uno para problemas mecánicos, otro para problemas con discusión.

Temario›Matemáticas II›Vectores, rectas y planos en el espacio

Vectores, rectas y planos en el espacio

0 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

ClaveAlta — 1 pregunta por examen

¿Qué entra en vectores, rectas y planos en el espacio?

Ecuaciones de rectas y planos, posiciones relativas (paralelas, secantes, cruzadas), producto escalar, vectorial y mixto. Base de la geometría analítica del espacio en selectividad. En la PAU de Matemáticas II se pide pasar entre las distintas formas de la ecuación de la recta (paramétrica, continua, como intersección de planos) y del plano (vectorial, paramétrica, general). Las posiciones relativas entre rectas, entre recta y plano, y entre planos se determinan mediante rangos de matrices o productos vectoriales. El producto escalar se usa para ángulos y proyecciones, el vectorial para obtener vectores perpendiculares y áreas, y el mixto para volúmenes y coplanaridad. El corrector valora que se justifique cada posición relativa con cálculos explícitos. Un error habitual es confundir vector director con vector normal del plano. Este bloque es la primera parte de la geometría del espacio y se completa con el de distancias, ángulos y cónicas.

Vectores, rectas y planos en el espacio en selectividad PAU 2026: guía completa

1 pregunta por examen · 2,0–2,5 puntos · ~20-25% de la nota · 381 problemas históricos

El bloque de vectores, rectas y planos en el espacio es la columna vertebral de la geometría analítica tridimensional en la PAU de Matemáticas II y aparece en TODAS las comunidades autónomas como pregunta completa de 2,5 puntos sobre 10. Reúne 381 problemas históricos en la base de datos de selectividad.academy, lo que lo convierte —junto con el análisis— en el bloque con mayor volumen del examen. La estructura típica de la pregunta combina **operaciones con vectores en

\mathbb{R}^3

(productos escalar, vectorial y mixto) con la manipulación de ecuaciones de rectas y planos y el estudio de posiciones relativas entre ellos.

Este bloque conecta directamente con matrices y determinantes (el producto vectorial se calcula como un determinante simbólico, y las posiciones relativas se discuten por rangos de matrices de coeficientes y ampliada), con sistemas lineales (rectas y planos se cortan resolviendo sistemas), y se prolonga en el siguiente bloque de distancias y ángulos, donde los productos vectorial y escalar reaparecen como herramientas. El error que más penaliza el corrector es confundir el vector director de una recta con el vector normal de un plano**: el director

\vec{v}

marca la dirección de la recta, mientras que el normal

\vec{n}

es perpendicular al plano. Intercambiarlos invalida toda la discusión de posiciones relativas.

En esta guía encontrarás la estructura completa del bloque: el orden recomendado para estudiarlo, las fórmulas imprescindibles, una tarjeta-resumen de cada subtema con su URL específica para profundizar, las diferencias por comunidad autónoma, y respuestas a las preguntas más frecuentes. Cada subtema enlaza con su página propia donde encontrarás ejercicios PAU reales resueltos paso a paso, trucos del corrector y errores frecuentes.

¿En qué orden estudiar vectores, rectas y planos en el espacio?

Cada paso depende del anterior. Sigue este orden para no perder tiempo:

1
Vectores en el espacio y operaciones básicas
Empieza con suma, resta y producto por escalar. Domina el cálculo del módulo $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$ y la dependencia/independencia lineal por determinantes. Es la base de todo lo demás.
2
Productos: escalar, vectorial y mixto
Tres productos distintos con tres aplicaciones geométricas distintas. Escalar $\vec{u}\cdot\vec{v}$ para ángulos y proyecciones; vectorial $\vec{u}\times\vec{v}$ para perpendicular común y área de paralelogramo; mixto $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$ para coplanaridad y volumen.
3
Ecuaciones de la recta en el espacio
Tres formas equivalentes: vectorial/paramétrica $\vec{r} = P + t\vec{v}$ , continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$ , e implícita como intersección de dos planos. Aprende a pasar de una forma a otra.
4
Ecuaciones del plano
Forma vectorial/paramétrica con dos directores, general $Ax + By + Cz + D = 0$ (con $\vec{n} = (A,B,C)$ normal), y segmentaria cuando interesan los cortes con los ejes. El normal $\vec{n}$ es la clave para todo lo demás.
5
Posiciones relativas: recta-recta, recta-plano, plano-plano
Discusión por rangos (matriz de coeficientes vs. ampliada) o por productos vectoriales (paralelismo si $\vec{v}\times\vec{w} = \vec{0}$ , perpendicularidad si $\vec{v}\cdot\vec{w} = 0$ ). Es el apartado más recurrente en PAU.

Los 2 subtemas de vectores, rectas y planos en el espacio en PAU 🗂

Cada subtema tiene su página propia con fórmulas detalladas, pasos para resolver, errores frecuentes y problemas de exámenes oficiales PAU paso a paso.

Fórmulas clave de vectores, rectas y planos en el espacio 📐

Las que aparecen en TODOS los subtemas. Si memorizas solo estas, tienes lo esencial.

Producto escalar

\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha

Producto vectorial (determinante simbólico)

\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3\end{vmatrix}

Producto mixto (volumen del paralelepípedo)

[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \begin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3\end{vmatrix}

Ecuación vectorial / paramétrica de la recta

\vec{r}: (x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + t(v_1, v_2, v_3)

Ecuación general del plano

\pi: Ax + By + Cz + D = 0 \quad \text{con normal } \vec{n} = (A, B, C)

Área de paralelogramo / triángulo

A_{\text{paralelogramo}} = |\vec{u} \times \vec{v}|, \qquad A_{\text{triángulo}} = \tfrac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}|

¿Cómo evalúa cada CCAA vectores, rectas y planos en el espacio? 🌍

Diferencias clave por CCAA: en Andalucía y Madrid la pregunta clásica combina cálculo del producto vectorial con discusión de posiciones relativas recta-plano. En Cataluña son frecuentes los problemas mixtos con producto mixto y volumen de tetraedro, planteados como aplicación geométrica. En Galicia y C. Valenciana las posiciones relativas suelen llevar parámetro

m

a discutir (recta-plano según valores de

m

). En País Vasco y Castilla y León se exige explícitamente la discusión por rangos de la matriz de coeficientes y ampliada, con justificación. En Murcia y Aragón aparecen mucho problemas de plano que contiene una recta o recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan. Para una comparación detallada de cómo evalúa cada comunidad este bloque, consulta nuestro artículo del blog Diferencias selectividad Matemáticas II por CCAA.

Preguntas frecuentes sobre vectores, rectas y planos en el espacio en PAU 💬

¿Qué entra en el bloque de vectores, rectas y planos en selectividad?: Entran operaciones con vectores en $\mathbb{R}^3$ (suma, módulo, dependencia lineal), los tres productos (escalar, vectorial y mixto) con sus aplicaciones geométricas (ángulos, proyecciones, áreas, volúmenes, coplanaridad), las ecuaciones de la recta (vectorial, paramétrica, continua, implícita) y del plano (general, vectorial, segmentaria), y la discusión de posiciones relativas recta-recta, recta-plano y plano-plano. Es 1 pregunta completa de 2,5 puntos sobre 10 en casi todas las CCAAs.
¿En qué orden conviene estudiar vectores, rectas y planos?: Primero domina los vectores (operaciones, módulo, dependencia lineal). Sigue con los tres productos (escalar, vectorial, mixto) y sus aplicaciones. Después aprende las ecuaciones de la recta (las cuatro formas y cómo pasar de una a otra). Luego las ecuaciones del plano identificando el vector normal. Por último estudia las posiciones relativas, que combinan todo lo anterior. Cada paso depende del anterior — saltarse vectores hace imposible lo demás.
¿Cuánto pesa este bloque en la nota de PAU?: Entre 2 y 2,5 puntos sobre 10 en la mayoría de comunidades, lo que supone el 20-25% del examen. Es el bloque con más problemas históricos (381) junto con análisis y aparece en TODAS las pruebas. Tiene además alta relación esfuerzo/nota: una vez memorizadas las fórmulas y el método de rangos, los ejercicios son sistemáticos y se resuelven con técnica casi mecánica.
¿Cuál es la diferencia entre vector director y vector normal?: El vector director $\vec{v}$ de una recta marca la dirección en la que se extiende la recta — es paralelo a ella. El vector normal $\vec{n}$ de un plano es perpendicular al plano. Cuando una recta de director $\vec{v}$ es paralela a un plano de normal $\vec{n}$ , se cumple $\vec{v}\cdot\vec{n} = 0$ (porque el director está dentro del plano). Cuando es perpendicular al plano, $\vec{v}$ y $\vec{n}$ son paralelos. Confundirlos es el error que más penaliza en este bloque.
¿Por rangos o por productos vectoriales para discutir posiciones relativas?: Ambos métodos son válidos y aceptados por el corrector. Por rangos (matriz de coeficientes vs. ampliada con el teorema de Rouché-Frobenius) es más sistemático, conecta con álgebra y es preferido en País Vasco, Castilla y León y problemas con parámetro. Por productos vectoriales (paralelismo si $\vec{v}\times\vec{w} = \vec{0}$ , secancia si no son paralelos pero el sistema tiene solución) es más rápido en problemas concretos sin parámetro. Domina los dos: uno para problemas mecánicos, otro para problemas con discusión.