¿Qué entra en el bloque de estudio de funciones en selectividad?

Entran cuatro grandes apartados: cálculo de límites (incluyendo las siete indeterminaciones), estudio de continuidad y clasificación de discontinuidades, estudio completo de una función (dominio, asíntotas, monotonía, curvatura, extremos y esbozo) y aplicación del Teorema de Bolzano. Suele suponer 2 preguntas de unos 4,5 puntos sobre 10 en total.

¿En qué orden estudio este bloque?

El orden natural es: 1) **límites** (la herramienta base), 2) **continuidad** (depende de límites), 3) **estudio completo de una función** (integra límites + continuidad + derivadas), 4) **Teorema de Bolzano** (aplica continuidad). No saltes pasos: sin dominar límites es imposible calcular asíntotas y sin continuidad no se justifica Bolzano.

¿Cuánto pesa este bloque en la nota PAU?

Entre 4 y 5 puntos sobre 10 según comunidad — el bloque más pesado del examen junto con derivadas. En la mayoría de CCAAs hay una pregunta dedicada al estudio completo de una función (2-2,5 puntos) y otra a límites/continuidad/Bolzano (2 puntos). Dominarlo es decisivo para sacar nota alta.

¿Hay que dibujar la gráfica en el estudio de funciones?

Sí, salvo que el enunciado pida solo apartados sueltos. El esbozo final integra todo el análisis previo (dominio, asíntotas, monotonía, curvatura, extremos) y demuestra que el alumno entiende el comportamiento global. En Andalucía y Madrid el esbozo vale hasta 0,5 puntos del apartado y omitirlo penaliza claramente.

Temario›Matemáticas II›Estudio completo de funciones

Estudio completo de funciones

Q: ¿Se puede usar L'Hôpital en selectividad?

Depende de la comunidad. En **Aragón**, **País Vasco** y **Asturias** se acepta sin restricciones. En **Andalucía** y **Madrid** solo si el alumno ha visto la regla en clase. En **Murcia** y **Castilla-La Mancha** se prefiere la resolución algebraica (factorización, conjugado, infinitos equivalentes). Si lo usas, indica siempre que verificas las hipótesis (\tfrac{0}{0} o \tfrac{\infty}{\infty}).

0 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

ClaveMuy alta — 1 pregunta por examen

¿Qué entra en estudio completo de funciones?

Estudio completo de funciones: dominio, continuidad, asíntotas, monotonía, curvatura, extremos y representación gráfica. Incluye límites y el teorema de Bolzano como herramienta auxiliar. Pregunta clásica de la PAU. En la selectividad de Matemáticas II se pide habitualmente un estudio completo que incluya dominio, simetría, cortes con los ejes, asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión, y finalmente un esbozo de la gráfica. El corrector espera que cada apartado esté justificado analíticamente, no solo enunciado. Los límites en el infinito y el cálculo de indeterminaciones (0/0, infinito/infinito) son pasos previos imprescindibles. Un error habitual es calcular asíntotas oblicuas cuando ya existen horizontales. El teorema de Bolzano aparece para demostrar existencia de raíces en un intervalo. Este bloque se apoya en derivadas y conecta con integrales cuando se pide calcular el área bajo la curva representada.

Estudio completo de funciones en selectividad PAU 2026: guía completa

2 preguntas por examen · 4,0–5,0 puntos · ~40-50% de la nota · 143 problemas PAU en DB

El bloque de estudio completo de funciones es uno de los pilares del análisis matemático en selectividad PAU de Matemáticas II. Reúne todo lo que cualquier comunidad autónoma exige sobre el comportamiento de una función real: el cálculo de límites (incluidos los infinitos y las indeterminaciones), el análisis de continuidad y la clasificación de discontinuidades, el estudio completo de una función (dominio, asíntotas, monotonía, curvatura, extremos y esbozo de la gráfica) y la aplicación del teorema de Bolzano para probar la existencia de raíces en un intervalo.

En la práctica este bloque aparece en TODAS las CCAAs, normalmente repartido en dos preguntas: una de cálculo de límites o continuidad (2 puntos sobre 10) y otra de estudio de función con esbozo (2,5 puntos sobre 10). El Teorema de Bolzano se cuela como apartado teórico-aplicado y suele dar puntos casi gratis si se justifica bien. Es la base para entender los bloques posteriores de derivadas y aplicaciones e integrales, porque sin dominar límites no se entiende la derivada como límite del cociente incremental, y sin continuidad no hay teoremas fundamentales del cálculo.

Esta guía recoge el orden recomendado de estudio, las fórmulas críticas que hay que memorizar, una tarjeta-resumen de cada subtema con su URL específica, las diferencias por comunidad autónoma y respuestas a las dudas más frecuentes. Cada subtema enlaza con su página propia con ejercicios PAU reales resueltos paso a paso (143 problemas en total), trucos del corrector y errores típicos detectados en convocatorias recientes.

¿En qué orden estudiar estudio completo de funciones?

Cada paso depende del anterior. Sigue este orden para no perder tiempo:

1
Límites de funciones
Empieza por el concepto de límite, los límites laterales y los infinitos. Domina las siete indeterminaciones ( $\tfrac{0}{0}$ , $\tfrac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $0 \cdot \infty$ , $1^{\infty}$ , $0^0$ , $\infty^0$ ) y las técnicas para resolverlas (factorización, conjugado, L'Hôpital cuando esté permitido).
2
Continuidad de funciones
Una vez controlas los límites, la continuidad es inmediata: $f$ es continua en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ . Aprende a clasificar discontinuidades (evitable, salto finito, asintótica/esencial) y a estudiar funciones definidas a trozos con parámetro.
3
Estudio completo de una función
El ejercicio integrador del bloque. Dominio, simetrías, cortes con ejes, asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas), monotonía y extremos ( $f'$ ), curvatura y puntos de inflexión ( $f''$ ), y esbozo final. Requiere haber dominado los pasos anteriores y la derivada.
4
Teorema de Bolzano
Aplicación directa de la continuidad: si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f(a) \cdot f(b) < 0$ , entonces existe $c \in (a,b)$ con $f(c) = 0$ . Sirve para demostrar existencia de raíces, puntos fijos ( $g(x) = x$ ) y cortes entre gráficas.
5
Conexión con derivadas e integrales
El estudio de funciones se cierra con la derivada (siguiente bloque): monotonía, extremos y curvatura ya no se intuyen, se demuestran. La integral aparece en problemas de áreas bajo la curva — el esbozo previo es imprescindible para plantear bien la integral.

Los 4 subtemas de estudio completo de funciones en PAU 🗂

Cada subtema tiene su página propia con fórmulas detalladas, pasos para resolver, errores frecuentes y problemas de exámenes oficiales PAU paso a paso.

Fórmulas clave de estudio completo de funciones 📐

Las que aparecen en TODOS los subtemas. Si memorizas solo estas, tienes lo esencial.

Definición de límite

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon

Definición de continuidad en un punto

f \text{ continua en } x_0 \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)

Asíntotas de una función

\begin{aligned}&\text{Vertical: } \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \\ &\text{Horizontal: } \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = k \\ &\text{Oblicua: } y = mx + n,\ m = \lim_{x \to \pm\infty} \tfrac{f(x)}{x},\ n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]\end{aligned}

Monotonía y extremos (criterio de la derivada)

f'(x) > 0 \Rightarrow f earrow \qquad f'(x) < 0 \Rightarrow f \searrow \qquad f'(x_0) = 0 \text{ y } f''(x_0) \neq 0 \Rightarrow \text{extremo}

Curvatura e inflexión

f''(x) > 0 \Rightarrow f \text{ convexa} \qquad f''(x) < 0 \Rightarrow f \text{ cóncava} \qquad f''(x_0) = 0 \text{ y cambio} \Rightarrow \text{inflexión}

Teorema de Bolzano

f \in \mathcal{C}[a,b],\ f(a) \cdot f(b) < 0 \Rightarrow \exists c \in (a,b) : f(c) = 0

¿Cómo evalúa cada CCAA estudio completo de funciones? 🌍

Diferencias por CCAA: en Andalucía y Madrid el estudio completo de funciones es pregunta fija de 2,5 puntos, con esbozo obligatorio — sin gráfica final se pierde hasta el 25% del apartado. En Cataluña suelen pedir un análisis parcial (solo asíntotas + extremos) integrado en un problema más largo, y el Bolzano aparece como cuestión teórica corta. En Galicia y C. Valenciana los límites con indeterminaciones

\infty - \infty

1^{\infty}

son recurrentes, exigen dominio del conjugado y del número

e

. En País Vasco y Aragón se acepta L'Hôpital sin restricciones; en cambio en Murcia y Castilla-La Mancha se prefiere la resolución algebraica explícita y L'Hôpital se valora menos. El Teorema de Bolzano se exige con justificación formal completa en todas las comunidades: enunciar hipótesis, comprobarlas y aplicar la tesis.

Preguntas frecuentes sobre estudio completo de funciones en PAU 💬

¿Qué entra en el bloque de estudio de funciones en selectividad?: Entran cuatro grandes apartados: cálculo de límites (incluyendo las siete indeterminaciones), estudio de continuidad y clasificación de discontinuidades, estudio completo de una función (dominio, asíntotas, monotonía, curvatura, extremos y esbozo) y aplicación del Teorema de Bolzano. Suele suponer 2 preguntas de unos 4,5 puntos sobre 10 en total.
¿En qué orden estudio este bloque?: El orden natural es: 1) límites (la herramienta base), 2) continuidad (depende de límites), 3) estudio completo de una función (integra límites + continuidad + derivadas), 4) Teorema de Bolzano (aplica continuidad). No saltes pasos: sin dominar límites es imposible calcular asíntotas y sin continuidad no se justifica Bolzano.
¿Cuánto pesa este bloque en la nota PAU?: Entre 4 y 5 puntos sobre 10 según comunidad — el bloque más pesado del examen junto con derivadas. En la mayoría de CCAAs hay una pregunta dedicada al estudio completo de una función (2-2,5 puntos) y otra a límites/continuidad/Bolzano (2 puntos). Dominarlo es decisivo para sacar nota alta.
¿Se puede usar L'Hôpital en selectividad?: Depende de la comunidad. En Aragón, País Vasco y Asturias se acepta sin restricciones. En Andalucía y Madrid solo si el alumno ha visto la regla en clase. En Murcia y Castilla-La Mancha se prefiere la resolución algebraica (factorización, conjugado, infinitos equivalentes). Si lo usas, indica siempre que verificas las hipótesis ( $\tfrac{0}{0}$ o $\tfrac{\infty}{\infty}$ ).
¿Hay que dibujar la gráfica en el estudio de funciones?: Sí, salvo que el enunciado pida solo apartados sueltos. El esbozo final integra todo el análisis previo (dominio, asíntotas, monotonía, curvatura, extremos) y demuestra que el alumno entiende el comportamiento global. En Andalucía y Madrid el esbozo vale hasta 0,5 puntos del apartado y omitirlo penaliza claramente.