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Examen resuelto de Matemáticas II — Extraordinaria 2022
C. Valenciana6 problemas100% Resuelto
Pregunta 1
10 puntos(5 + 5)
Álgebra Lineal
Sistema con parámetro a — discusión y solución
Dado el sistema {ax+y=1; x+z=1; x+ay+(a-1)z=a}: a) [5 pts] Discutir el sistema en función del parámetro real a. b) [5 pts] Encontrar todas las soluciones del sistema cuando sea compatible.
Pregunta 2
10 puntos(4 + 3 + 3)
Álgebra Lineal
Matriz 2×2 con parámetros a, b
Dada A=[[a+b, 0],[1, a-b]]: a) [4 pts] Calcular los valores de a y b para que A⁻¹ = [[1, 0],[-1, 1]]. b) [3 pts] Para dichos valores, calcular A³ y A⁴. c) [3 pts] Calcular det(A^-50) cuando a²-b²≠0.
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Pregunta 3
10 puntos(2 + 4 + 4)
Geometría Analítica
Rectas por dos puntos, plano paralelo y distancia
Dados A=(2,0,0), B=(0,1,0) y la recta s: (x-1)/2=(y-1)/3=z. a) [2 pts] Ecuación de la recta r que pasa por A y B. b) [4 pts] Ecuación implícita del plano que contiene s y es paralelo a r. c) [4 pts] Distancia del punto A a la recta s.
Pregunta 4
10 puntos(5 + 5)
Geometría Analítica
Punto de corte perpendicular y área de triángulo
Dados A=(2,1,-2) y B=(3,2,3), y el plano π: 2x+2y+z=3. a) [5 pts] Punto C intersección entre π y la recta perpendicular a π que pasa por B. b) [5 pts] Área del triángulo de vértices A, B y C.
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Pregunta 5
10 puntos(5 + 2 + 3)
Análisis
Integral racional — descomposición y valor de t
a) [5 pts] Calcular ∫ 18/(x²-5x-14) dx. b) [2 pts] Determinar en función de t: ∫₈ᵗ 18/(x²-5x-14) dx. c) [3 pts] Determinar el valor de t>8 tal que la integral del apartado b) sea ln(25/4).
Pregunta 6
10 puntos(3 + 7)
Análisis
Rectángulo inscrito bajo y=e^(-x²)
Considere f(x)=e^(-x²) para x>0. Por cada punto M=(x, f(x)) se trazan dos rectas paralelas a los ejes, que junto con OX y OY definen un rectángulo. a) [3 pts] Área del rectángulo en función de x. b) [7 pts] Punto M que da área máxima y valor de esa área.
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