Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2022

Un conocido defraudador fiscal tiene distribuido su dinero negro en tres paraísos fiscales, las Islas Caimán, Panamá y Fiji. La suma total de este dinero es de 150 millones de euros. Si perdiera la cuarta parte del dinero que tiene en las Islas Caimán, seguiría teniendo allí el triple del dinero que tiene en Panamá. Además, el dinero que tiene en Panamá sumado a las dos quintas partes del dinero que tiene en Fiji es exactamente la mitad del dinero que tiene en las Islas Caimán. Calcule cuánto dinero tiene en cada uno de los paraísos fiscales.

Se dice que una matriz cuadrada $A$ es idempotente si cumple que $A^2 = A$.

a) [0,75 p.] Si $A$ es una matriz idempotente, calcule razonadamente $A^{2022}$.

b) [0,75 p.] Si $A$ es una matriz idempotente y regular (o inversible), calcule razonadamente su determinante.

c) [1 p.] Determine para qué valores de $a$ y $b$ la siguiente matriz es idempotente $$A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 2 & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}.$$

Considere la función $f(x)$ dada por $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln x}{x - 1} & \text{si } x > 0 \text{ y } x \neq 1 \\ a & \text{si } x = 1 \end{cases}$$

a) [0,5 p.] Calcule el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $+\infty$.

b) [1 p.] Determine el valor de $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x = 1$.

c) [1 p.] Estudie si, para dicho valor de $a$, la función $f(x)$ es derivable en $x = 1$. En caso afirmativo, calcule el valor de la derivada de $f$ en $x = 1$.

Considere la función $f(x) = x^2 e^{-x}$, definida para todo valor de $x \in \mathbb{R}$.

a) [1 p.] Calcule la derivada de $f(x)$ y determine sus intervalos de crecimiento y/o decrecimiento.

b) [1 p.] Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$.

c) [0,5 p.] Determine la primitiva de la función $f(x)$ cuya gráfica pasa por el punto de coordenadas $(0, 1)$.

Considere el plano $\pi$ de ecuación $\pi : x + y + z = 1$ y la recta $r$ dada por $$r : \begin{cases} x - y = 0 \\ a x - z = a - 1 \end{cases}$$

a) [1,5 p.] Estudie la posición relativa del plano $\pi$ y de la recta $r$ en función del parámetro $a$.

b) [1 p.] Si $a = -1$ la recta $r$ corta al plano $\pi$. Calcule en ese caso el punto de corte y el ángulo que forma la recta $r$ con el plano $\pi$.

Considere las rectas $r$ y $s$ dadas por $$r : \dfrac{x - 1}{-1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{1} \quad\text{y}\quad s : \begin{cases} x + 2z = 1 \\ y = 0 \end{cases}$$

a) [1,5 p.] Compruebe que las rectas son coplanarias (es decir, están contenidas en un mismo plano) y calcule la ecuación del plano que las contiene.

b) [1 p.] Calcule la distancia de la recta $r$ al plano $\pi : x - y + 2z = 3$.

Un estudio publicado en Environmental, Science and Technology ha revelado que la probabilidad de contraer el Covid-19 en el interior de restaurantes es $0{,}45$. Además, según los datos de las Naciones Unidas, en el mundo hay actualmente un $50{,}5\%$ de hombres y un $49{,}5\%$ de mujeres.

a) [0,5 p.] Suponiendo que los sucesos «contraer el Covid-19 en el interior de restaurantes» y «ser mujer» sean independientes, calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar sea mujer y contraiga el Covid-19 en el interior de restaurantes.

b) [1 p.] En el mismo supuesto que en el apartado a), calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar no sea mujer o no contraiga el Covid-19 en el interior de restaurantes.

c) [1 p.] Si se eligen 8 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 4 de ellas contraigan el Covid-19 en el interior de restaurantes?

En este ejercicio trabaje con 4 decimales para las probabilidades.

La altura de los individuos de una población sigue una distribución normal de media $175$ cm y desviación típica $4$ cm.

a) [0,75 p.] Calcule la probabilidad de que un individuo elegido al azar mida más de $170$ cm.

b) [0,75 p.] Calcule qué porcentaje de la población mide entre $170$ y $185$ cm.

c) [1 p.] Calcule la altura que es superada por el $33\%$ de la población.