Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2022

Resuelve los siguientes apartados:
a) Considera la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Calcular los coeficientes $a, b, c, d$, sabiendo que $f$ tiene un extremo relativo en el punto $P(0,1)$ y su gráfica tiene un punto de inflexión $Q(1,-1)$. Dar la expresión de la función $f(x)$. (1,75 ptos)
b) Resuelve el siguiente límite: $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}$. (0,75 ptos)

Considera las siguientes funciones: $y = 3x - x^2;\ y = x - 3$
a) Representa el recinto que encierra las dos funciones anteriores. (1,5 ptos)
b) Calcula el área del recinto limitado por las funciones anteriores. (1 pto)

Resuelve los siguientes apartados:
a) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, para $k\in\mathbb{R}$ sea $C$ la matriz dada por: $C = A^t + k\,B\cdot A$. Averigua para qué valores de $k$ la matriz $C$ tiene rango 2. (0,75 ptos)
b) Encuentra la matriz $X$, de dimensión $3\times 3$, que verifica $M^t \cdot X = I - M$, donde $M = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}$. (1,75 ptos)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: $\begin{cases} 2x + 6y + kz = 0 \\ kx + 4y + 2z = 2 \\ kx + 6y + 2z = k - 2 \end{cases}$
a) Discute la resolución del sistema según los valores que puede tomar el parámetro $k$. (1,5 ptos)
b) Resuelve el sistema cuando el parámetro $k$ toma el valor $k=0$. (1 pto)

Resuelve los siguientes problemas del espacio tridimensional:
a) Dadas las rectas $r: \begin{cases} x+y+z+1 = 0 \\ 2x-y+3z-2 = 0 \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = -1 - 3\lambda \end{cases}$, estudia la posición relativa entre $r$ y $s$. (1,5 ptos)
b) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi: 2x - y + z - 5 = 0$. (1 pto)

En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de la recta y el plano siguientes: $r \equiv \begin{cases} -3x + 2y = 5 \\ -4y + 3z + 7 = 0 \end{cases}$ y $\pi \equiv 5x - 6y + 7z + 58 = 0$
a) Sabiendo que la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un punto $A$, dar la ecuación de la recta $s$, perpendicular al plano $\pi$ que pasa por dicho punto $A$. (1,5 ptos)
b) Calcula el ángulo que forman la recta $r$ y el plano $\pi$. (1 pto)

El 10% de la población de Canarias tiene alergia a la flor del olivo. Con esta información, responde a las siguientes preguntas:
a) En una muestra de 100 individuos, ¿qué probabilidad hay de que más de 12 seleccionados tengan alergia a la flor del olivo? (1 pto)
b) Se toma una muestra de 400 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 32 seleccionados tengan alergia a la flor del olivo? (1 pto)
c) En una muestra de 500 individuos, ¿cuál es el número esperado de individuos que no tendrán alergia a la flor del olivo? (0,5 ptos)

Una prueba, utilizada para determinar la presencia de plomo en una aleación de acero, es errónea en 8 de cada 100 análisis realizados.
a) Se realizan 10 análisis con esta prueba, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de estos análisis sean erróneos? (1 pto)
b) Comprueba si es cierta la siguiente afirmación: "En 10 análisis realizados con esta prueba, hay menos de un 5% de posibilidades de encontrar más de dos análisis erróneos". (1 pto)
c) Si se realizan 100 análisis con esta prueba, ¿cuál es el número esperado de análisis correctos? (0,5 ptos)