Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2022

El pal central que soste la lona de la carpa d'un circ se situa perpendicularment sobre el pla d'un terra l'equacio del qual es x + y - z = 0. Sabem que la cupula de la carpa (el punt mes alt per on passa el pal) es el punt de coordenades P = (30, 1, 9).

Considereu la funcio f(x) = 9/(x^2 + x - 2).
a) Determineu el domini, les possibles asimptotes, els extrems relatius i els intervals de creixement i decreixement de la funcio. [1,25 punts]
b) Calculeu l'equacio general de la recta tangent a la funcio f(x) en el punt d'abscissa x = 4. Representeu en un mateix grafic la funcio f(x) i la recta tangent. [1,25 punts]

Considereu la matriu A = ((1, a, 3), (2a, 5, 3a), (7, 4a, 9)), que depen del parametre a.
a) Calculeu el rang de la matriu A per als diferents valors del parametre a. [1,25 punts]
b) Si X = (x, y, z)^T, resoleu l'equacio matricial seguent: ((1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)) * X = (0, 0, 0)^T. [1,25 punts]

a) Considereu la funcio f(x) = { ln(x), si x in (0, e); ax + b, si x in [e, 4) }, on a i b son nombres reals. Trobeu el valor de a i de b per tal que la funcio sigui continua i derivable a l'interval (0, 4). [1,25 punts]
b) Calculeu la funcio g(x) que satisfa g'(x) = x^3/(9x^4 + 1) i que passa pel punt (0, -1). [1,25 punts]

Sigui la matriu A = ((a, a, 0), (2, a+1, a-1), (2a+1, 0, -a-3)), en que a es un parametre real.
a) Calculeu els valors del parametre a per als quals la matriu A es invertible. [1,25 punts]
b) Per al cas a = 3, resoleu l'equacio A * X = B - 3I, en que B = ((4, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 4)). [1,25 punts]

La imatge seguent mostra dues parets perpendiculars d'una sala representades en uns eixos de coordenades, de manera que una paret es al pla y = 0 i l'altra es al pla x = 0.
En el punt A = (2, 0, 2) hi volem penjar un altaveu que ha d'estar connectat a un equip de so, el qual esta situat a l'altra paret, en el punt B = (0, 2, 1). La connexio entre A i B la farem mitjancant un cable que passi pel punt C = (0, 0, h), situat a la recta vertical d'interseccio de les dues parets.
[Image/graphic in original PDF: dues parets perpendiculars amb punts A, B, C]
a) Comproveu que la longitud total del cable necessari, en funcio de l'altura h, ve donada per l'expressio L(h) = sqrt(h^2 - 4h + 8) + sqrt(h^2 - 2h + 5). [0,75 punts]
b) Calculeu les coordenades del punt C per on ha de passar el cable per tal que la longitud del cable sigui minima. Calculeu aquesta longitud minima del cable. [1,75 punts]