Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2022

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro t: $tx+y+z=4$, $x-ty+z=1$, $x+y+z=t+2$. A. [0,75 PUNTOS] Determine para qué valores de t el sistema tiene solución única. B. [1 PUNTO] Determine para qué valores de t el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. C. [0,75 PUNTOS] Determine para qué valores de t el sistema no tiene solución.

Considere la función $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$. A. [0,5 PUNTOS] Calcule la derivada primera de f(x). B. [0,5 PUNTOS] Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x=2. C. [0,5 PUNTOS] Calcule las asíntotas verticales de f(x). D. [1 PUNTO] Calcule las asíntotas horizontales de f(x).

Los puntos A=(0,−1,1), B=(1,1,1) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice está contenido en la recta r que pasa por el punto B y es perpendicular al plano π de ecuación 2x−y+z=1. A. [1,5 PUNTOS] Calcule la ecuación de la recta r. B. [1 PUNTO] Calcule las coordenadas del vértice C sabiendo que el área del triángulo es $3\sqrt{30}$.

El tiempo de vuelo de un avión Santander–Madrid sigue una distribución normal de media 60 minutos y desviación típica 5 minutos. A. [1,25 PUNTOS] Para conectar con el siguiente vuelo con destino Sevilla, se necesita que el avión tarde menos de T=70 minutos. Calcule la probabilidad de perder el avión a Sevilla. B. [1,25 PUNTOS] Calcule cuanto debe valer T para que la probabilidad de perder el avión sea del 0,1 %.

Sean las matrices $$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$, $$C=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$. A. [0,5 PUNTOS] Calcule A² y compruebe que es regular. B. [0,5 PUNTOS] Calcule la matriz inversa de A². C. [1 PUNTO] Despeje X en la ecuación matricial A²X+B=C. D. [0,5 PUNTOS] Calcule la matriz X de orden 2×2 que verifica A²X+B=C.

Considere la función $f(x)=\dfrac{3}{x}$. A. [1 PUNTO] Calcule el dominio y las asíntotas de f(x). B. [0,5 PUNTOS] Halle una primitiva de f(x). C. [1 PUNTO] Calcule el área de la región limitada por la función y=f(x), las rectas x=1, x=e y el eje OX de abscisas.

Considera la recta $r:\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z}{1}$ y el plano $\pi: x-2y-z=-1$. A. [1 PUNTO] Estudie la posición relativa de recta y plano. B. [1,5 PUNTOS] Si r corta a π calcule el punto de corte y el ángulo que forman. Si la recta no corta al plano, calcule la distancia entre ambos.

El 90 % de las personas de una población están vacunadas contra la enfermedad E. El 5 % de las personas no vacunadas tienen la enfermedad E, y el 1 % de las personas vacunadas también han contraído la enfermedad. Se selecciona una persona al azar de dicha población: A. [1 PUNTO] Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma. B. [1,5 PUNTOS] Calcule la probabilidad de que esté vacunada sabiendo que está enferma.